Ciencia sin seso… locura doble

Píldoras sobre medicina basada en pruebas

Entradas etiquetadasDesviación típica
image_pdf

No te dejes llevar por los extremos

Ya vimos en una entrada anterior que los valores extremos de una distribución, los llamados outliers, pueden sesgar las estimaciones de los estadísticos que calculamos en nuestra muestra.

Un ejemplo típico es el de la media aritmética, que se desplaza en la dirección de los valores extremos, si los hay, tanto más cuanto más extremos sean los valores. Vimos que, para evitar este inconveniente, existían una serie de familiares de la media aritmética que se consideraban robustos o, lo que es lo mismo, que eran menos sensibles a la presencia de outliers. De todos estos, el más conocido es la mediana, aunque existen algunos más, como la media recortada, la winsorizada, la ponderada, la geométrica, etc.

Pues bien, algo parecido a lo que le pasa a la media ocurre también con la desviación típica, el estadístico de escala o dispersión utilizado con más frecuencia. La desviación típica o estándar también se ve sesgada por la presencia de valores extremos, obteniendo valores que son poco representativos de la dispersión real de la distribución.

Veamos el ejemplo que utilizábamos al hablar de los estimadores robustos de la media. Supongamos que medimos los valores de colesterol sérico en un grupo de personas y nos encontramos los siguientes valores (en mg/dl): 166, 143, 154, 168, 435, 159, 185, 155, 167, 152, 152, 168, 177, 171, 183, 426, 163, 170, 152 y 155. Como vemos, existen dos valores extremos (426 y 435 mg/dl) que nos sesgarán los estadísticos habituales que son la media y la desviación típica. En nuestro caso, podemos calcular la desviación típica y ver que su valor es de 83 mg/dl, claramente poco ajustado a la desviación de la mayoría de los valores respecto a cualquiera de las medidas de centralización robustas que podamos elegir.

¿Qué hacemos en este caso? Pues utilizar cualquiera de los estimadores robustos de la desviación, que hay varios. Algunos de ellos surgen a partir de los estimadores robustos de la media. Veamos algunos.

El primero, que surge a partir de la mediana, es la desviación absoluta mediana (DAM). Si recordáis, la desviación típica es la suma de las diferencias de cada valor con la media, elevadas al cuadrado, y dividida por el número de elementos, n (o por n-1 si lo que queremos es obtener un estimador no sesgado de la desviación típica poblacional). Pues bien, de modo similar, podemos calcular la mediana de las desviaciones absolutas de cada valor con la mediana de la muestra, según la siguiente fórmula

DAM = Mediana {|Xi – Me|}, para i=1 hasta n.

Podemos calcularla en nuestro ejemplo y vemos que vale 17,05 mg/dl, bastante más ajustado que la desviación típica clásica.

El segundo se calcula a partir de la media recortada. Esta, como su nombre indica, se calcula recortando un determinado porcentaje de la distribución, por sus extremos (la distribución tiene que estar ordenada de menor a mayor). Por ejemplo para calcular la media recortada al 20% de nuestro ejemplo quitaríamos un 10% por cada lado (dos elementos por cada lado: 143, 152, 426 y 435) y calcularíamos la media aritmética con los restantes. Pues bien, podemos calcular la desviación de la forma clásica con los elementos recortados, obteniendo el valor de 10,5 mg/dl.

Por último, en tercer lugar podríamos hacerlo siguiendo el razonamiento que se utiliza para calcular la media winsorizada. En este caso, en vez de eliminar los valores, los sustituiríamos por los valores más próximos sin eliminar. Una vez winsorizada la distribución, calculamos la desviación típica con los nuevos valores de la forma habitual. Su valor es de 9,3 mg/dl, similar a la anterior.

¿Cuál utilizamos de las tres?. Pues nos interesa utilizar una que se comporte de forma eficiente cuando la distribución sea normal (en estos casos la mejor es la desviación típica clásica) pero que no sea muy sensible cuando la distribución se aparte de la normal. En este sentido, la mejor es la desviación absoluta mediana, seguida de la desviación típica winsorizada muestral.

Un último consejo antes de finalizar. No os pongáis a calcular estas medidas a mano, ya que puede resultar muy laborioso, Los programas de estadística hacen los cálculos por nosotros sin el menor esfuerzo.

Y aquí terminamos. No hemos hablado nada de otros estimadores de la familia de los M-estimadores, como la varianza media biponderada o la varianza media de porcentaje ajustado. Estas medias son mucho más difíciles de comprender desde el punto de vista matemático, aunque son muy fáciles de calcular con el paquete informático adecuado. Pero esa es otra historia…

No todas las desviaciones son perversas

Incluso me atrevería a decir que hay desviaciones muy necesarias. Pero que nadie se entusiasme antes de tiempo. Aunque haya podido parecer otra cosa, vamos a hablar de cómo varían los valores de una variable cuantitativa en una distribución.

Cuando obtenemos los datos de un parámetro determinado en una muestra y queremos dar una idea resumida de cómo se comporta, lo primero que se nos ocurre es calcular una medida que la represente, así que echamos mano de la media, la mediana o cualquier otra medida de centralización.

Sin embargo, el cálculo del valor central da poca información si no lo acompañamos de otro que nos informe sobre la heterogeneidad de los resultados dentro de la distribución. Para cuantificar el grado de variación, los matemáticos, con muy poca imaginación, han inventado una cosa que llaman la varianza.

Para calcularla se restaría la media al valor de cada individuo con la idea de sumar todas estas restas y dividirlas entre el número de mediciones. Es como calcular la media de las diferencias de cada uno respecto al valor central de la distribución. Pero surge un pequeño problema: como los valores están por encima y por debajo de la media (por obligación, que para eso es la media), las diferencias positivas y negativas se anularían al sumarlas, con lo que obtendríamos un valor próximo a cero si la distribución es simétrica aunque el grado de variación fuese grande. Para evitar esto lo que se hace es elevar las restas al cuadrado antes de sumarlas, con lo que desaparecen los signos negativos y la suma siempre da un valor relacionado con la amplitud de las diferencias. Esto es lo que se conoce como varianza.

Por ejemplo, supongamos que medimos la presión arterial sistólica a 200 escolares seleccionados al azar y obtenemos una media de 100 mmHg. Nos ponemos a restar de cada valor la media, lo elevamos al cuadrado, sumamos todos los cuadrados y dividimos el resultado por 200 (el número de determinaciones). Obtenemos así la varianza, por ejemplo: 100 mmHg2. Y yo me pregunto, ¿qué leches es un milímetro de mercurio al cuadrado?. La varianza medirá bien la dispersión, pero no me negaréis que es un poco difícil de interpretar. Una vez más, algún genio matemático acude al rescate y discurre la solución: hacemos la raíz cuadrada de la varianza y así recuperamos las unidades originales de la variable. Acabamos de encontrarnos con la más famosa de las desviaciones: la desviación típica o estándar. En nuestro caso sería de 10 mmHg. Si consideramos las dos medidas nos hacemos idea de que la mayor parte de los escolares tendrán probablemente tensiones próximas a la media. Si hubiésemos obtenido una desviación típica de 50 mmHg pensaríamos que hay mucha variación individual de los datos de presión arterial, aunque la media de la muestra fuese la misma.

Un detalle para los puristas. La suma del cuadrado de las diferencias suele dividirse por el número de casos menos uno (n-1) en lugar de por el número de casos (n), que podría parecer más lógico. ¿Y por qué?. Capricho de los matemáticos. Por alguna arcana razón se consigue que el valor obtenido esté más próximo al valor de la población del que procede la muestra.

Ya tenemos, por tanto, los dos valores que nos definen nuestra distribución. Y lo bueno es que, no solo nos dan una idea del valor central y de la dispersión, sino de la probabilidad de encontrar un individuo de la muestra con un determinado valor.  Sabemos que el 95% tendrán un valor comprendido entre la media ± 2 veces la desviación típica (1,96 veces, para ser exactos) y el 99% entre la media ± 2,5 veces la desviación (2,58 veces, en realidad).

Esto suena peligrosamente parecido a los intervalos de confianza del 95% y 99%, pero no debemos confundirlos. Si repetimos el experimento de la tensión en escolares un número muy grande de veces, obtendremos una media ligeramente diferente cada vez. Podríamos calcular la media de los resultados de cada experimento y la desviación estándar de ese grupo de medias. Esa desviación estándar es lo que conocemos como el error estándar, y nos sirve para calcular los intervalos de confianza dentro de los cuales está el valor de la población de la que procede la muestra y que no podemos medir directamente ni conocer con exactitud. Por lo tanto, la desviación estándar nos informa de la dispersión de los datos en la muestra, mientras que el error estándar nos da idea de la precisión con que podemos estimar el verdadero valor de la variable que hemos medido en la población de la que procede la muestra.

Una última reflexión acerca de la desviación estándar. Aunque el valor de la variable en el 95% de la población esté en el intervalo formado por la media ± 2 veces la desviación típica, esta medida solo tiene sentido realizarla si la distribución es razonablemente simétrica. En caso de distribuciones con un sesgo importante la desviación típica pierde gran parte de su sentido y debemos utilizar otras medidas de dispersión, pero esa es otra historia…