Ciencia sin seso… locura doble

Píldoras sobre medicina basada en pruebas

Guardado pordiciembre 2013
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La más famosa de las campanas

Dice el diccionario que una campana es un dispositivo simple que emite un sonido. Pero una campana puede ser muchas cosas más. Creo que hay hasta una planta con ese nombre y una flor con su diminutivo. Y no nos olvidemos de las campanas extractoras de las cocinas.

Pero, sin duda, la más famosa de todas las campanas es la célebre campana de Gauss, la más querida y venerada por estadísticos y científicos de distinto pelaje.

Pero, ¿qué es la campana de Gauss?. Pues no es nada más, ni nada menos, que una función de densidad de probabilidad. Dicho de otra forma, es una distribución continua de probabilidad que tiene forma de campana simétrica, de ahí la primera parte de su nombre. Y digo la primera parte porque la segunda es algo más polémica, ya que no está tan claro que Gauss sea el padre de la criatura.

Parece que el primero en utilizar esta función de densidad fue un tal Moivre, que estaba estudiando qué pasaba con una distribución binomial cuando el tamaño de la muestra se iba haciendo grande. Sin embargo, otra de las muchas injusticias de la historia, el nombre de la función se asocia con Gauss, que la utilizó unos 50 años después para registrar los datos de sus estudios astronómicos. Claro que, para defensa de Gauss, hay quien dice que los dos descubrieron la función de densidad de manera independiente.

Nosotros, para no polemizar, a partir de ahora vamos a denominarla por su otro nombre, diferente al de campana de Gauss: distribución normal. Y parece que la bautizaron así porque al principio pensaron que la mayor parte de los fenómenos naturales se ajustaban a esta distribución. Más tarde se vio que hay otras distribuciones que son muy frecuentes en biología, como la de Poisson o la binomial.

Como ocurre con cualquier función de densidad, la utilidad de la curva normal radica en que representa la distribución de probabilidades de aparición de la variable aleatoria que estemos midiendo. Por ejemplo, si medimos los pesos de una población de individuos y los representamos gráficamente veremos que se distribuyen siguiendo una distribución normal. Así, el área bajo la curva entre dos puntos del eje x representa la probabilidad de aparición de esos valores. El área total bajo la curva es igual a uno, lo que quiere decir que hay un 100% de probabilidades (uno en tantos por uno) de que se encuentre cualquiera de los valores de la distribución.

Existen infinitas distribuciones normales, todas ellas perfectamente caracterizadas por su media y su desviación estándar. Así, cualquier punto del eje horizontal puede expresarse como la media más o menos un número de veces la desviación estándar, pudiendo calcularse su probabilidad usando la fórmula de la función de densidad, que no me atrevo a enseñaros aquí. También podemos utilizar un ordenador para calcular la probabilidad de una variable dentro de una distribución normal, pero en la práctica se hace algo más sencillo: estandarizar.

Se dice que la distribución normal estándar es aquella que tiene una media igual a cero y una desviación estándar igual a uno. La ventaja de contar con la distribución estándar es doble. Primero, conocemos su distribución de probabilidades para los distintos puntos del eje horizontal. Así, entre la media más menos una desviación se encuentra el 68% de la población, entre la media y más menos dos el 95% y entre más menos tres el 99%, aproximadamente.

La segunda ventaja es que cualquier distribución normal puede convertirse en una estándar. Basta con restar la media al valor y dividirlo por la desviación estándar de la distribución. Calculamos así el score z, que es el equivalente del valor de nuestra variable en una distribución normal estándar de media cero y desviación estándar uno.

Veis la utilidad del asunto. Ya no necesitamos programas informáticos para calcular la probabilidad. Nos basta con estandarizar y usar una simple tabla, si es que no conocemos el valor de memoria. Pero es que la cosa va incluso más allá.

Gracias a la magia del teorema central del límite, otras distribuciones pueden aproximarse a una normal y puede utilizarse la técnica de estandarizar para calcular la distribución de probabilidades de los valores de las variables. Por ejemplo, aunque nuestra variable siga una distribución binomial podremos aproximarla a una normal cuando el tamaño muestral sea grande. En la práctica, cuando np y n(1-p) sean mayores de cinco. Lo mismo ocurre con la distribución de Poisson, que puede aproximarse a una normal cuando la media es mayor de 10.

Y la magia es doble, porque además de poder prescindir de herramientas complejas y calcular con más facilidad probabilidades o intervalos de confianza, hay que tener en cuenta que tanto la distribución binomial como la de Poisson son funciones de masa discretas, mientras que la normal es una función de densidad continua.

Y este es el final por hoy. Solo deciros que hay otras funciones de densidad continuas distintas a la normal y que también pueden aproximarse a una normal cuando las muestras son grandes. Pero esa es otra historia…

Contando ovejas

No hay ser más incomprendido que una oveja negra. Ya sabemos que habitualmente se usa el término para referirse a alguien que destaca dentro de un grupo o de una familia, generalmente por algún aspecto negativo. Pero las ovejas negras, en el sentido literal de la palabra, existen en el mundo real. Y como su lana es menos cotizada que la de las ovejas blancas, es fácil comprender el disgusto del pastor cuando ve una oveja negra en su rebaño.

Así que, nosotros, para compensar un poco la discriminación que sufren las ovejas negras vamos a contar ovejas, pero solo negras. Supongamos que durante un ataque alucinatorio decidimos que queremos convertirnos en pastores de ovejas. Nos vamos a una feria de ganado y buscamos un rebaño para comprarlo.

Pero claro, como somos nuevos en el negocio, nos tratarán de vender los rebaños con más ovejas negras que tengan en la feria. Así que tomamos tres muestras de 100 ovejas al azar de tres rebaños A, B y C y contamos el número de ovejas negras: 15, 17 y 12. ¿Quiere esto decir que el rebaño C es el que menos ovejas negras tiene?. No podemos saberlo solo con estos datos. Puede ser que, por azar, hayamos seleccionado una muestra con menos ovejas negras cuando en realidad este rebaño sea el que más tenga. Como las diferencias son pequeñas, podemos aventurarnos a pensar que no hay grandes diferencias entre los tres rebaños y que las que observamos son debidas simplemente a un error del muestreo aleatorio. Esta será nuestra hipótesis nula: los tres rebaños son similares en cuanto a proporción de ovejas negras. Solo nos queda hacer nuestro contraste de hipótesis.

Sabemos que para comparar medias de diferentes poblaciones podemos utilizar el análisis de la varianza, que se basa en ver si las diferencias entre los grupos son mayores que las diferencias aleatorias debidas al error de muestreo. Ahora bien, en nuestro ejemplo no tenemos medias, sino porcentajes. ¿Cómo hacemos entonces el contraste?. Cuando lo que queremos comparar son contajes o porcentajes tenemos que recurrir a la prueba de la chi-cuadrado, pero el razonamiento es similar: ver si las diferencias entre los valores esperados y los observados son lo suficientemente grandes.

ovejas negrasConstruyamos primero nuestra tabla de contingencia con los valores observados y esperados. Para calcular los valores esperados de una celda solo tenemos que multiplicar el marginal de su fila por el marginal de la columna y dividir por el total de la tabla. El que quiera saber por qué se hace así, puede leerlo en la entrada en la que lo explicábamos.

Una vez que tenemos los valores observado y esperado calculamos las diferencias entre ellos. Si ahora las sumáramos, las diferencias positivas se anularían con las negativas, así que previamente las elevamos al cuadrado, como hacíamos para calcular la desviación estándar de una distribución de datos. Por último, hay que estandarizar estas diferencias dividiéndolas entre el valor esperado. No es lo mismo esperar uno y observar dos que esperar 10 y observar 11, aunque la diferencia en estos casos sea de uno. Y una vez que tenemos todos estos residuos estandarizados solo nos queda sumarlos para obtener un valor que alguien bautizó como estadístico de Pearson, más conocido como λ.

Si hacéis el cálculo veréis que λ = 1,01. ¿Y eso es mucho o poco?. Pues da la casualidad de que λ sigue, aproximadamente, una distribución de chi-cuadrado con, en nuestro caso, dos grados de libertad (filas-1 por columnas-1), así que podemos calcular la probabilidad de que valga 1,01. Este valor es el valor de la p, que es de 0,60. Al ser mayor que 0,05 no podemos rechazar nuestra hipótesis nula, así que concluiremos que no hay diferencias estadísticamente significativas entre los tres rebaños. Yo compraría el más barato de los tres.

Estos cálculos pueden hacerse con facilidad con una simple calculadora, pero suele ser más rápido utilizar cualquier programa de estadística, sobre todo si tenemos tablas de contingencia más grandes o con números más altos o con muchos decimales.

Y aquí dejamos de contar ovejas. Hemos visto la utilidad de la prueba de la chi-cuadrado para el contraste de homogeneidad de poblaciones, pero la chi-cuadrado sirve para más cosas, como para contrastar la bondad del ajuste de dos poblaciones o la independencia de dos variables. Pero esa es otra historia…

El cocinero y su pastel

Saber cocinar es una ventaja. ¡Qué bien queda uno cuando tiene invitados y sabe cocinar como es debido!. Te pasas dos o tres horas comprando los ingredientes, te dejas un dineral y te tiras otras dos o tres horas en la cocina… y, al final, resulta que el plato estupendo que estabas preparando te queda hecho una ruina.

Y esto le pasa hasta a los mejores cocineros. Nunca podemos estar seguros de que el plato nos vaya a quedar bien, aunque lo hayamos preparado antes muchas veces. Así que entenderéis el problema que tiene mi primo.

Resulta que va a dar una fiesta y a él le ha tocado hacer el postre. Sabe hacer un pastel bastante rico, pero solo le sale realmente bueno la mitad de las veces que lo intenta. Así que está muy preocupado por hacer el ridículo en la fiesta, como es bien comprensible. Claro que mi primo es muy listo y ha pensado que si hace más de un pastel, alguno le tiene que quedar bueno. Pero, ¿cuántos tiene que hacer para tener, por lo menos, uno bueno?.

El problema de esta pregunta es que no tiene una respuesta exacta. Cuantos más pasteles haga, más probable que alguno salga bueno. Pero claro, puede hacer doscientos y tener la mala suerte de que todos sean malos. Pero no desesperéis: aunque no podemos dar una cifra con seguridad absoluta, si podemos medir la probabilidad de quedar bien con un número determinado de pasteles. Veámoslo.

Vamos a imaginar la distribución de probabilidad, que no es más que el conjunto de situaciones que incluyen todas las situaciones que pueden ocurrir. Por ejemplo, si mi primo hace un pastel, éste puede salir bueno (B) o malo (M), ambos con una probabilidad de 0,5. Podéis verlo representado en el gráfico A. Tendrá un 50% de probabilidades de éxito.

Si hace dos pasteles puede ocurrir que le salgan bien uno, dos o ninguno. Las combinaciones posibles serán: BB, BM, MB, MM. La probabilidad de tener uno bueno es de 0,5 y la de tener dos 0,25, con lo que la probabilidad de tener al menos uno bueno es de 0,75 o 75% (3/4). Lo representamos en el gráfico B Vemos que las opciones mejoran, pero todavía queda mucho margen para el fracaso.binomial

Si hace tres pasteles las opciones son las siguientes: BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB y MMM. Esto mejora, ya tenemos un 87,5% (1/8) de que al menos un pastel salga bien. Lo representamos en el gráfico C.

¿Y si hace cuatro, o cinco, o…?. El asunto se convierte en un auténtico coñazo. Cada vez es más difícil imaginar las combinaciones posibles. ¿Y qué hacemos?. Pues pensar un poco.

Si nos fijamos en los gráficos, las barras representan los elementos discretos de probabilidad de cada uno de los eventos posibles. Según aumenta el número de posibilidades y aumenta el número de barras verticales, la distribución de las barras comienza a adoptar una forma acampanada, ajustándose a una distribución de probabilidad conocida, la distribución binomial.

Las personas que entienden de estas cosas, llaman experimentos de Bernouilli a aquellos que tienen solo dos soluciones posibles (son dicotómicos), como tirar una moneda (cara o cruz) o nuestro pastel (bueno o malo). Pues bien, la distribución binomial mide el número de éxitos (k) de una serie de experimentos de Bernouilli (n) con una determinada probabilidad de ocurrencia de éxito de cada suceso (p).

En nuestro caso la probabilidad es p=0,5 y podemos calcular la probabilidad de tener éxito repitiendo el experimento (cocinando pasteles) según la siguiente fórmula:

\fn_jvn P(k\ aciertos\ en\ n\ intentos)= \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}

Si sustituimos p por 0,5 (la probabilidad de que el pastel salga bueno), podemos ir jugando con los valores de n para obtener, al menos, un pastel bueno (k≥1).

Si hacemos cuatro pasteles, la probabilidad de tener al menos uno bueno es de 93,75% y si hacemos cinco esta probabilidad sube a 96,87%, un valor de probabilidad razonable para lo que estamos buscando. Yo creo que haciendo cinco pasteles es muy difícil que a mi primo se le arruine su fiesta.

También podríamos despejar el valor de la probabilidad y calcularlo al revés: dado un valor de P(k de n) obtener el número de intentos necesarios. Otra cosa que se puede hacer es calcular todas estas cosas sin utilizar la fórmula, sino usar cualquiera de las calculadoras de probabilidad disponibles en Internet.

Y aquí se acaba esta entrada tan golosa. Existen, como podéis imaginar, más tipos de distribuciones de probabilidad, tanto discretas como esta distribución binomial como continúas como la distribución normal, la más famosa de todas. Pero esa es otra historia…