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Píldoras sobre medicina basada en pruebas

La falsa moneda

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Hoy vamos a seguir jugando con monedas. De hecho, vamos a jugar con dos monedas, una de ellas legal y la otra más falsa que Judas Iscariote, cargada de forma que dé más caras que cruces cuando la lanzamos. Os aconsejo que os pongáis cómodos antes de empezar.

Resulta que tenemos una moneda trucada. Por definición, la probabilidad de sacar cara con una moneda legal es 0,5 (50%). Por otra parte, nuestra moneda trucada saca cara el 70% de las veces (probabilidad 0,7), lo cual nos viene muy bien porque la usamos cada vez que queremos sortearnos alguna tarea desagradable. No tenemos más que ofrecer nuestra moneda, pedir cruz y confiar un poco en que la suerte de nuestra falsa moneda nos beneficie.

Ahora supongamos que hemos sido tan despistados como para guardar la moneda trucada con las demás. ¿Cómo podemos saber cuál es la falsa?. Y aquí es donde se nos ocurre el juego. Vamos a imaginar qué pasaría si tirásemos la moneda al aire 100 veces seguidas. Si la moneda es legal esperamos sacar cara unas 50 veces, mientras que con la trucada esperamos sacar unas 70. Así que vamos a escoger una moneda, la lanzamos 100 veces y, basándonos en el número de caras, decidiremos si está trucada o no. Así que, de forma arbitraria elegimos un valor entre 50 y 70, pongamos que 65 y decimos: si obtenemos 65 caras o más diremos que nuestra moneda está trucada, pero si sacamos menos de 65 diremos que es legal.

Pero cualquiera se da cuenta en seguida que este método no es infalible. Por una parte, podemos sacar 67 caras con una moneda legal y concluir que está trucada, cuando no lo está. Pero es que también puede dar la casualidad que saquemos 60 con la trucada y nos creamos que es una moneda legal. ¿Podemos solucionar este problema y evitar equivocarnos?. Pues, la verdad es que no podemos, pero lo que sí podemos es medir la probabilidad que tenemos de equivocarnos.

Si utilizamos una calculadora de probabilidad binomial (los más valientes pueden hacer los cálculos a mano), la probabilidad de sacar 65 caras o más con una moneda legal es del 0,17%, mientras que la probabilidad de sacarlas con nuestra moneda cargada es del 88,4%. Así que se pueden presentar cuatro situaciones que os represento en la tabla adjunta.

En este caso, nuestra hipótesis nula dice que la moneda es legal, mientras que la alternativa dice que la moneda está trucada a favor de las caras.

Empecemos por los casos en que la prueba concluye que la moneda es legal (sacamos menos de 65 caras). La primera posibilidad es que la moneda sea, en efecto, legal. Pues habremos acertado. No tenemos más que decir de este supuesto.

La segunda posibilidad es que, a pesar de lo que dice nuestra prueba, la moneda sea más falsa que el beso de una suegra. Pues esta vez hemos cometido un error que alguien con muy poca imaginación bautizó como error de tipo II. Hemos aceptado la hipótesis nula de que la moneda es legal cuando en realidad está trucada.

Vamos a suponer ahora que nuestra prueba concluye que la moneda está trucada. Si la moneda es, en realidad, legal, habremos vuelto a equivocarnos, pero esta vez lo que habremos cometido es un error de tipo I. En este caso hemos rechazado la hipótesis nula de que la moneda es legal siendo cierto que es legal.

Por último, si concluimos que es falsa y realmente está trucada, habremos acertado una vez más.

Vemos en la tabla que la probabilidad de cometer un error de tipo I es, en este ejemplo, del 0,17%. Esta es la significación estadística de nuestra prueba, que no es más que la probabilidad de rechazar nuestra hipótesis nula de que la moneda es legal (decir que es falsa) cuando en realidad lo es (es legal). Por otra parte, la probabilidad de acertar cuando la moneda es falsa es del 88%. A esta probabilidad se le llama potencia, que no es más que la probabilidad de acertar cuando la prueba dice que está trucada (acertar cuando rechazamos la hipótesis nula).

Si pensáis un poco veréis que el error de tipo II es el complementario de la potencia. Cuando la moneda es falsa, la probabilidad de aceptar que es legal cuando no lo es (error de tipo II) más la probabilidad de acertar y decir falsa debe sumar el 100%. Así, el error de tipo II es igual a 1 – potencia.

Esta significación estadística que hemos visto es el famoso valor de la p. La significación estadística no es más que la probabilidad de cometer un error de tipo I. Por convenio, se suele aceptar como tolerable el 0,05 (5%), ya que, en general, es preferible no aceptar como buenas hipótesis que son falsas. Por eso en los estudios científicos se buscan valores bajos de significación y altos de potencia, aunque los dos están relacionados, por lo que al aumentar la significación disminuye la potencia, y viceversa.

Y aquí terminamos. Al que haya llegado hasta aquí a través de este galimatías sin perderse del todo, mi más sincera enhorabuena, porque la verdad es que esta entrada parece un juego de palabras. Y eso que podríamos haber comentado algo sobre significación y cálculo de intervalos de confianza, tamaños muestrales, etc. Pero esa es otra historia…

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