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Libertad en grados

La libertad es uno de esos conceptos que todo el mundo entiende con facilidad pero que es tremendamente difícil definir. Si no me creéis, intentad enunciar una definición de libertad y veréis que no es tan fácil. En seguida entraremos en conflicto con la libertad de los demás cuando tratemos de definir la nuestra, o nos preguntaremos a qué tipo de libertad nos estamos refiriendo en nuestra definición.

Sin embargo, a los grados de libertad les ocurre justamente lo contrario. Son bastante más fáciles de definir, pero muchos tienen problemas para entender el significado exacto de este concepto, aparentemente tan abstracto.

El número de grados de libertad se refiere al número de observaciones de una muestra que pueden tomar cualquier valor posible (que son “libres” de tomar cualquier valor) una vez que se ha calculado previamente y de forma independiente la estimación de un determinado parámetro en la muestra o en la población de origen. ¿Comprendéis ahora por qué os digo que es fácil de definir pero no tanto de entender?. Vamos a ver un ejemplo para intentar aclararnos un poco.

En un alarde de imaginación delirante, vamos a suponer que somos maestros de escuela. El director del colegio nos dice que hay un concurso entre los colegios de la zona y que tenemos que seleccionar cinco alumnos para representar a nuestra clase. La única condición es que la calificación media final de los cinco alumnos tiene que ser de siete. Supongamos también que da la casualidad de que nuestro hijo mayor, que tiene uno ocho, está en la clase. Actuando con imparcialidad le elegimos para representar a sus compañeros. Nos quedan cuatro así que, por qué no seguir con nuestro sentido de la justicia y escoger a sus cuatro amigos. Su amigo Felipe tiene 9, Juan 6, Luis 5 (aprueba por los pelos) y Evaristo un 10 (el muy empollón). ¿Cuál es el problema? Pues que la media de los cinco es 7,6 y nos piden que sea de 7. ¿Qué podemos hacer?.

Supongamos que quitamos a Luis, que para eso es el que tiene peores notas. Tendremos que escoger a un alumno con una nota de 2 para que la media sea de 7. Pero no podemos llevar a un alumno que haya suspendido. Pues quitamos al empollón de Evaristo, pero entonces necesitaremos buscar un alumno con un 7. Si lo pensáis, podemos hacer todas las combinaciones con los cinco amigos, pero siempre eligiendo solo a cuatro, ya que el quinto sería obligado por el valor de la media de los cinco que hemos predeterminado. Pues esto quiere decir, ni más ni menos, que tenemos cuatro grados de libertad.

Cuando realizamos una inferencia estadística sobre una población, si queremos que los resultados sean fiables debemos hacer cada estimación de forma independiente. Por ejemplo, si calculamos la media y la desviación típica deberíamos hacerlo de forma independiente, pero lo habitual es que esto no sea así, ya que para calcular la desviación necesitamos previamente una estimación de la media. Así, no todas las estimaciones pueden considerarse libres e independientes de la media. Al menos una de ellas estará condicionada por el valor previo de la media.

Así que ya vemos que el número de grados de libertad nos está indicando el número de observaciones independientes que están implicadas en la estimación de un parámetro de la población.

Esto tiene su importancia porque los estimadores siguen distribuciones de frecuencias específicas cuya forma depende del número de grados de libertad asociados con su estimación. Cuanto mayor sea el número de grados de libertad, más estrecha será la distribución de frecuencias y mayor será la potencia del estudio para realizar la estimación. De esta manera, potencia y grados de libertad se relacionan positivamente con el tamaño de la muestra, de tal forma que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra mayor será el número de grados de libertad y, por tanto, mayor será la potencia.

Calcular el número de grados de libertad de una prueba suele ser sencillo, pero es diferente según la prueba en cuestión. El caso más sencillo sería el del cálculo de la media de una muestra, que ya vimos que es igual a n-1, siendo n el tamaño muestral. De forma parecida, cuando hay dos muestras y dos medias, el número de grados de libertad es de n1+n2-2. En general, cuando se calculan varios parámetros, los grados de libertad se calculan como n-p-1, siendo p el número de parámetros a estimar. Esto es útil cuando hacemos un análisis de la varianza para comparar dos o más medias.

Y así podríamos dar ejemplos para el cálculo de cada prueba o estadístico en particular que queramos llevar a cabo. Pero esa es otra historia…