Ciencia sin seso… locura doble

Píldoras sobre medicina basada en pruebas

Entradas etiquetadasProbabilidad binomial
image_pdf

Las rarezas de los pueblos pequeños

Recuerdo cuando yo era pequeño e iba al colegio que casi todo el mundo tenía un pueblo al que irse durante las vacaciones. Claro que eran otros tiempos y la mayor parte de los niños eran hijos de emigrados recientemente a la ciudad, así que casi todo el mundo tenía “su pueblo”. Ahora la cosa es diferente. La mayoría de los niños de los colegios son de la ciudad donde viven, así que está casi mal visto ser “de pueblo”.

Sin embargo, los pueblos tienen muchas cosas interesantes. Suelen ser, por ejemplo, lugares más tranquilos y donde se lleva una vida más sana. Pero, aunque poca gente lo sabe, los pueblos se ven acechados por el azar. Los pueblos son presa fácil de una cosa llamada ley de los pequeños números. ¿Sabéis en qué consiste?. Trataremos de explicarlo con un ejemplo.

Cuando yo era residente había un pueblo, cuyo nombre no voy a decir para no ofender a nadie, del que venían casi todos los traslados de enfermedades raras. Ignorantes de nosotros, llegamos incluso a especular con la posibilidad de que la abundante pizarra del lugar fuese radiactiva y tuviese la culpa de que los habitantes de este pueblo tuviesen aparentemente una incidencia tan alta de patología tan extraña. Sin embargo, la explicación es mucho más sencilla y no hace falta recurrir a ninguna teoría conspiratoria. La culpa es de los pequeños números.

Vamos a suponer que el riesgo de padecer fildulastrosis es del uno por mil (prevalencia Pv = 0,001). Como todos sabemos, esta enfermedad genética se debe a una mutación que se produce totalmente al azar, por lo que presentar o no la enfermedad puede asumirse como un suceso de Bernouilli que sigue una distribución de probabilidad binomial.

Según la prevalencia que hemos elegido, si vamos recorriendo pueblos esperaremos encontrar un caso de fildulastrosis por cada 1.000 habitantes. Si llegamos a un pueblo con 5.000 habitantes y tiene solo un caso en lugar de cinco, ¿qué diríamos?. Pues seguro que pensaríamos que nos encontramos ante uno más de los beneficios de la vida del campo, mucho más sana, sin estrés y en contacto con la naturaleza.

¿Y si llegamos a uno todavía más pequeño, de 1.000 habitantes y vemos que hay cuatro enfermos?. Siguiendo un razonamiento tan estúpido como el anterior, diríamos que es sin duda un efecto de la vida en el campo, con menos controles sanitarios y en contacto con animales de granja y demás guarrerías de la naturaleza.

Pero en los dos casos estaríamos equivocados. El vivir en el campo no tiene culpa de que haya más o menos enfermos. Vamos a ver qué pasa con estos pueblos.

Si hay 1.000 habitantes, lo esperado es que haya un caso de fildulastrosis (Pv=0,001). De hecho, si utilizamos una calculadora de probabilidad binomial, la probabilidad de que haya al menos un enfermo es del 63%. Pero si jugamos un poco con la calculadora, podemos ver que la probabilidad de que haya dos o más es del 26%, de que haya tres o más del 8% y de que haya cuatro o más un 2%. Como veis, la prevalencia se triplica en uno de cada cuatro pueblos de 1.000 habitantes solo por efecto del azar. Pensemos ahora que el pueblo tiene 10.000 habitantes. El número de casos esperados es de 10 (con una probabilidad del 54%). Sin embargo, la probabilidad de que haya al menos 20 casos cae a un 0,3% y de que haya al menos 30 se aproxima a cero. Quiere esto decir que el azar es mucho más caprichoso con los pueblos pequeños. Las muestras grandes son siempre más precisas y es más difícil que encontremos valores extremos por efecto del azar.

¿Qué pasa con el otro ejemplo?. Ocurre lo mismo: la muestra pequeña es más imprecisa y más susceptible a la desviación hacia valores extremos por mero azar. Como el primer pueblo tiene 5.000 habitantes, esperaremos encontrar por lo menos cinco casos de fildulastrosis (probabilidad del 61%). Si volvemos a utilizar la calculadora, veremos que la probabilidad de que haya cuatro o menos es del 44%, de que haya tres o menos del 26% y de que haya dos o menos del 12%. Quiere decir que en uno de cada ocho pueblos de 5.000 habitantes, la prevalencia, por puro azar, bajará hasta 0,0004. ¿Qué pasaría con un pueblo más grande, digamos de 10.000 habitantes?. Pues que esperaríamos 10 casos o menos con una probabilidad del 58%, pero la probabilidad de que la prevalencia baje a 0,0004 (cuatro casos o menos) cae hasta un 3%. Y si hacéis el cálculo para una ciudad de 100.000 habitantes, veréis que la probabilidad de que la prevalencia baje a la mitad es prácticamente cero.

La ley de los pequeños números se cumple en ambos sentidos. Ya no tendremos que volver a dar ninguna explicación absurda cuando veamos una ciudad pequeña con una prevalencia anormalmente alta o baja de una enfermedad conocida. Sabemos que es capricho del azar y de su ley de los pequeños números.

Y aquí terminamos por hoy. Espero que nadie se haya ido a Google a buscar qué es la fildulastrosis, pero si alguien lo ha encontrado, que me lo explique. El ejemplo que hemos puesto es sencillo para poder demostrar más fácilmente el asunto de la imprecisión de las muestras pequeñas. En la vida real probablemente la aparición de ciertas enfermedades pueda condicionar un mayor riesgo de enfermar en los familiares, lo cual podría exagerar todavía más el efecto que hemos mostrado y favorecer la aparición de valores más extremos. Pero esa es otra historia…

El cocinero y su pastel

Saber cocinar es una ventaja. ¡Qué bien queda uno cuando tiene invitados y sabe cocinar como es debido!. Te pasas dos o tres horas comprando los ingredientes, te dejas un dineral y te tiras otras dos o tres horas en la cocina… y, al final, resulta que el plato estupendo que estabas preparando te queda hecho una ruina.

Y esto le pasa hasta a los mejores cocineros. Nunca podemos estar seguros de que el plato nos vaya a quedar bien, aunque lo hayamos preparado antes muchas veces. Así que entenderéis el problema que tiene mi primo.

Resulta que va a dar una fiesta y a él le ha tocado hacer el postre. Sabe hacer un pastel bastante rico, pero solo le sale realmente bueno la mitad de las veces que lo intenta. Así que está muy preocupado por hacer el ridículo en la fiesta, como es bien comprensible. Claro que mi primo es muy listo y ha pensado que si hace más de un pastel, alguno le tiene que quedar bueno. Pero, ¿cuántos tiene que hacer para tener, por lo menos, uno bueno?.

El problema de esta pregunta es que no tiene una respuesta exacta. Cuantos más pasteles haga, más probable que alguno salga bueno. Pero claro, puede hacer doscientos y tener la mala suerte de que todos sean malos. Pero no desesperéis: aunque no podemos dar una cifra con seguridad absoluta, si podemos medir la probabilidad de quedar bien con un número determinado de pasteles. Veámoslo.

Vamos a imaginar la distribución de probabilidad, que no es más que el conjunto de situaciones que incluyen todas las situaciones que pueden ocurrir. Por ejemplo, si mi primo hace un pastel, éste puede salir bueno (B) o malo (M), ambos con una probabilidad de 0,5. Podéis verlo representado en el gráfico A. Tendrá un 50% de probabilidades de éxito.

Si hace dos pasteles puede ocurrir que le salgan bien uno, dos o ninguno. Las combinaciones posibles serán: BB, BM, MB, MM. La probabilidad de tener uno bueno es de 0,5 y la de tener dos 0,25, con lo que la probabilidad de tener al menos uno bueno es de 0,75 o 75% (3/4). Lo representamos en el gráfico B Vemos que las opciones mejoran, pero todavía queda mucho margen para el fracaso.binomial

Si hace tres pasteles las opciones son las siguientes: BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB y MMM. Esto mejora, ya tenemos un 87,5% (1/8) de que al menos un pastel salga bien. Lo representamos en el gráfico C.

¿Y si hace cuatro, o cinco, o…?. El asunto se convierte en un auténtico coñazo. Cada vez es más difícil imaginar las combinaciones posibles. ¿Y qué hacemos?. Pues pensar un poco.

Si nos fijamos en los gráficos, las barras representan los elementos discretos de probabilidad de cada uno de los eventos posibles. Según aumenta el número de posibilidades y aumenta el número de barras verticales, la distribución de las barras comienza a adoptar una forma acampanada, ajustándose a una distribución de probabilidad conocida, la distribución binomial.

Las personas que entienden de estas cosas, llaman experimentos de Bernouilli a aquellos que tienen solo dos soluciones posibles (son dicotómicos), como tirar una moneda (cara o cruz) o nuestro pastel (bueno o malo). Pues bien, la distribución binomial mide el número de éxitos (k) de una serie de experimentos de Bernouilli (n) con una determinada probabilidad de ocurrencia de éxito de cada suceso (p).

En nuestro caso la probabilidad es p=0,5 y podemos calcular la probabilidad de tener éxito repitiendo el experimento (cocinando pasteles) según la siguiente fórmula:

\fn_jvn P(k\ aciertos\ en\ n\ intentos)= \binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}

Si sustituimos p por 0,5 (la probabilidad de que el pastel salga bueno), podemos ir jugando con los valores de n para obtener, al menos, un pastel bueno (k≥1).

Si hacemos cuatro pasteles, la probabilidad de tener al menos uno bueno es de 93,75% y si hacemos cinco esta probabilidad sube a 96,87%, un valor de probabilidad razonable para lo que estamos buscando. Yo creo que haciendo cinco pasteles es muy difícil que a mi primo se le arruine su fiesta.

También podríamos despejar el valor de la probabilidad y calcularlo al revés: dado un valor de P(k de n) obtener el número de intentos necesarios. Otra cosa que se puede hacer es calcular todas estas cosas sin utilizar la fórmula, sino usar cualquiera de las calculadoras de probabilidad disponibles en Internet.

Y aquí se acaba esta entrada tan golosa. Existen, como podéis imaginar, más tipos de distribuciones de probabilidad, tanto discretas como esta distribución binomial como continúas como la distribución normal, la más famosa de todas. Pero esa es otra historia…

Las colas de la p

Que me perdonen mis amigos que están al otro lado del Atlántico, pero no me refiero al tipo de colas que muchas mentes perversas están pensando. Lejos de eso, hoy vamos a hablar de unas colas mucho más aburridas pero que son muy importantes siempre que queramos realizar un contraste de hipótesis. Y, como suele ser habitual, lo vamos a ilustrar con un ejemplo para ver si lo entendemos mejor.

Supongamos que tomamos una moneda y, armados de una paciencia infinita, la tiramos al aire 1000 veces, obteniendo cara 560 veces. Todos sabemos que la probabilidad de sacar cara es de 0,5, así que si tiramos la moneda 1000 veces el número medio esperado de caras será de 500. Pero nosotros hemos sacado 560, así que podemos plantearnos dos posibilidades que se nos ocurren de forma inmediata.

Primera, la moneda es legal y hemos sacado 60 caras de más por puro azar. Esta será nuestra hipótesis nula, que dice que la probabilidad de sacar cara [P(cara)] es igual a 0,5. Segunda, nuestra moneda no es legal y está cargada para sacar más caras. Será nuestra hipótesis alternativa (Ha), que dice que P(cara) > 0,5.

Pues bien, vamos a hacer el contraste de hipótesis sirviéndonos de una calculadora de probabilidad binomial de las que hay disponibles en Internet. Si asumimos la hipótesis nula de que la moneda es legal, la probabilidad de que obtengamos 560 caras o más es de 0,008%. Dado que es menor de 5%, rechazamos nuestra hipótesis nula: la moneda está trucada.

Ahora, si os fijáis, la Ha tiene una direccionalidad hacia P(cara) > 0,5, pero podríamos haber planteado la hipótesis como que la moneda no fuese legal, sin presuponer ni que está cargada a favor de las caras ni de las cruces: P(cara) distinto de 0,5. En este caso calcularíamos la probabilidad de que el número de caras estuviese 60 por encima o por debajo de los 500, en las dos direcciones. La probabilidad que obtendríamos es de 0,016, rechazando nuestra hipótesis nula y concluyendo que la moneda no es legal. El problema es que la prueba no nos dice si está cargada en uno u otro sentido, pero por los resultados suponemos que es en sentido hacia las caras. En el primer caso hemos hecho una prueba con una cola, mientras que en el segundo lo hemos hecho con dos colas.

WebEn el gráfico podéis ver el área de probabilidades de cada una de las dos pruebas. En una cola el área pequeña de la derecha es la probabilidad de que la diferencia respecto al valor esperado se deba al azar. Con dos colas, esta área es doble y situada a ambos lados de la distribución. Veis que la p con dos colas vale el doble que con una cola. En nuestro ejemplo el valor de p es tan bajo que en cualquier caso nos permite rechazar la hipótesis nula. Pero esto no siempre es así, y puede haber ocasiones en que el investigador elija hacer la prueba con una cola porque con dos no consiga la significación estadística que le da la prueba con una de las colas.

Y digo una de las colas porque en el ejemplo de una cola hemos calculado la de la derecha, pero también podemos calcular el valor de la probabilidad de la cola de la izquierda. Pensemos en el improbable caso de que la moneda esté cargada en el sentido de sacar más cruces pero que, por azar, nosotros hemos sacado más caras. Nuestra Ha diría que P(cara) < 0,5. En este caso calcularíamos la probabilidad de que, asumiendo que es legal, la moneda nos de 560 caras o menos. El valor de p es de 99,9%, luego no podemos rechazar nuestra hipótesis nula de que la moneda es legal.

¿Pero qué pasa aquí?, preguntaréis. El primer contraste de hipótesis que planteamos decía que podíamos rechazar la hipótesis nula y este dice lo contrario. Si es la misma moneda y los mismos datos, ¿no deberíamos llegar a la misma conclusión?. Pues resulta que no. Recordad que no poder rechazar la hipótesis nula no es lo mismo que concluir que es cierta, cosa que nunca podremos asegurar. En este último ejemplo, la hipótesis nula de legalidad de la moneda es mejor opción que la alternativa de que está cargada para dar más cruces. Sin embargo, eso no quiere decir que podamos concluir que la moneda es legal.

Veis pues, cómo hay que tener muy claro el significado de las hipótesis nula y alternativa cuando plateemos un contraste de hipótesis. Y recordad siempre que aunque no podamos rechazar la hipótesis nula eso no quiere obligadamente decir que sea cierta. Simplemente no tenemos potencia suficiente para rechazarla. Lo cual me lleva a pensar en los errores de tipo I y tipo II y su relación con la potencia del estudio y el tamaño de la muestra. Pero esa es otra historia…

No te la juegues

¿Habéis estado en Las Vegas?. Es una ciudad curiosa de ver. Una vez. Dos, como mucho. Los casinos son algo asombroso, con todo el mundo jugando como locos con la ilusión de hacerse ricos con poco esfuerzo.

Pero, ¿quién pensáis que paga todo lo que veis en Las Vegas?. Efectivamente, los que juegan. La banca nunca pierde. Hacedme caso, no os juguéis la pasta en un casino porque la probabilidad de ganar es más bien escasa y, aún en el caso de que ganéis, lo más probable es que sea poca cantidad. Claro que esto puede no ser verdad si apostáis grandes cantidades, pero si tenéis tanto dinero tampoco tendréis necesidad de apostar para haceros ricos.

Vamos a ver con un ejemplo lo difícil que es hacerse millonario por este método. Tomemos como ejemplo una de las jugadas a las que se puede apostar con la ruleta: la apuesta de la calle o de tres números. Para los que no hayáis jugado nunca, nuestra ruleta tiene 38 números.

En esta jugada colocamos nuestras fichas en tres números de una de las filas y la ruleta se pone a girar. Supongamos que apostamos un euro en cada jugada. La apuesta de la calle se paga 11 a uno, lo que quiere decir que si la bola cae en uno de nuestros tres números nos devuelven nuestro euro y otros 11 más. Pero si la bola cae en otro de los 38 números, perderemos nuestro euro.

Así que la probabilidad de acertar será p = 3/38 y la de perder q = 35/38. Pensemos primero cuál será la ganancia neta teórica de cada jugada: será la suma de la probabilidad de ganar por 11 euros menos la probabilidad de perder por uno:

Ganancia media = (3/38 x 11) – 35/38 = -0,0526 €

Esto quiere decir que, por término medio, en cada jugada perderemos algo más de cinco céntimos. ¿Y si jugamos 300 veces seguidas?. ¿Podremos hacernos ricos entonces?.

Pues tampoco, porque la ganancia esperada será la ganancia media de cada jugada por el número total de jugadas, o sea, -0,0526 x 300 = -15,78 €. Entonces, ¿por qué coño juega la gente, si cuánto más se juega mayor es la cantidad que se espera perder?. Pues precisamente porque es una cantidad esperada, pero el número de veces que se gana o pierde sigue una distribución de frecuencias binomial, así que habrá afortunados que pierdan menos o, incluso, que ganen dinero, pero también desgraciados que perderán mucho más de lo esperado.

La siguiente pregunta que os estaréis haciendo es qué probabilidades tenemos de ganar si jugamos las trescientas veces seguidas. Vamos a calcularlo.

Llamemos W al número de veces que ganamos y G a nuestra ganancia neta después de las 300 jugadas. La ganancia neta será el número de veces que ganemos multiplicado por 11 (recordad que se paga 11 a uno) menos el número de veces que no ganemos (perderemos un euro). Por otro lado, el número de veces que perderemos será el número total de jugadas menos el número de jugadas en las que ganemos. Así:

G = 11 W + (-1)(300 – W) -> 12 W – 300

Si queremos ganar, nuestra ganancia neta G debe ser mayor que cero. Si lo ponemos en la ecuación anterior:

12W – 300 > 0

Nos queda

W > 300/12

W > 25

Esto quiere decir que, para no perder dinero, tendremos que ganar un mínimo de 25 veces de las 300 que juguemos. ¿Y 25 son muchas o pocas?. A mí, la verdad, me parecen un montón, pero calculemos la probabilidad.

Ya hemos dicho que el modelo de la ruleta sigue la distribución de probabilidad binomial:

P= \binom{n}{k} (p)^{k} (1-p)^{n-k}

Donde n es el número de jugadas, k es el número de éxitos, p la probabilidad de ganar y q o (1-p) la de perder. Si sustituimos las letras de la ecuación por nuestros datos (n=300, p=3/38 y k=25) podemos calcular cuál es la probabilidad de ganar, al menos 25 veces. El problema es que los números se vuelven tan grandes que es muy difícil manejarlos, así que os aconsejo que utilicéis un programa estadístico o alguna de las calculadoras disponibles en Internet. Yo lo he hecho y me sale una probabilidad del 42%.

¡Qué bien!, pensaréis alguno. Un 42% de probabilidades de ganar no está tan mal. Pero pensad un momento que lo que no está mal, para el casino al menos, es el 58% de probabilidades que tenemos de perder. Y, además, el 42% es la probabilidad de ganar en general. Si calculáis el número de jugadas que hay que ganar para obtener una ganancia neta de 100 euros veréis que es de más de 34 y, si calculáis la probabilidad, veréis que baja hasta un 2,2%.

Seguid mi consejo: gastaos el dinero en otra cosa.

Para finalizar esta entrada tan lúdica solo comentaros que, si no disponéis de una calculadora de probabilidad binomial, podéis calcular una aproximación utilizando una distribución normal. Habría que calcular la ganancia media y su error estándar y, con ambos y la ganancia deseada, calcular el valor z estandarizado para estimar su probabilidad. Pero esa es otra historia…

Miénteme

Hoy me vais a permitir que me ponga un poco guarro. Guarro y asqueroso, en realidad. Y es que últimamente no paro de darle vueltas a una cosa que he observado un montón de veces. Seguro que algunos de vosotros también lo habéis visto.

¿Os habéis fijado la cantidad de conductores (y conductoras, no os creáis) que aprovechan los semáforos en rojo para sacarse los mocos?. Algunos, válgame Dios, hasta se los comen. ¡Qué asco!.

Sin embargo, yo he preguntado a la gente de mí alrededor y nadie reconoce hacerlo, con lo que me intriga por qué tengo tan mala suerte de encontrarme en los semáforos con los más guarros del barrio. Claro que igual lo que ocurre es que a la gente que le pregunto le da vergüenza confesar que también profesa tan malsano hábito.

La verdad es que conocer la verdad plantea un problema enorme. Imaginad que hacemos una encuesta. Me voy a tráfico, consigo un listado telefónico de conductores y empiezo a llamar a la gente para preguntarle: ¿se saca usted los mocos en los semáforos en rojo?.

Toda encuesta se puede ver falseada por cuatro fuentes de error. El primero es el sesgo de selección por elección errónea de los encuestados. Si llamo solo a los de los barrios finos, la mayoría me contestará que no (no porque no lo haga, sino porque le dará más reparo confesarlo). La segunda fuente de error es el “no contesta”: muchos me colgarían el teléfono sin contestar, dándome recuerdos para mi familia, ya de paso. La tercera es lo que se llama el sesgo de memoria. Esto quiere decir que el encuestado dice que no recuerda la respuesta a lo que le preguntemos. En nuestro ejemplo esto se aplicaría poco. Lo que sí nos encontraríamos con toda probabilidad es nuestra cuarta fuente de error: la mentira.

Esto lo saben bien los de Hacienda, muy acostumbrados a que la gente trate de engañarles. Si os llaman del fisco y os preguntan si alguna vez habéis defraudado, ¿qué contestaréis?.

¿Y podemos hacer algo para librarnos de la mentira?. Pues, salvo hacer las encuestas en persona y aplicar a los encuestados el suero de la verdad, no podemos librarnos de ella del todo, aunque sí podemos minimizarla mucho con un poco de ingenio.

Vamos a suponer que a mis encuestados telefónicos les planteo el siguiente juego: tiran un dado y si sale uno o dos me contestan que se sacan los mocos aunque sea mentira, pero si sale otro número, me tienen que decir la verdad. En cualquier caso, lo que nunca me dicen es lo que les ha salido en el dado.

De esta manera, el sujeto al que pregunto comprende que no puedo saber si su respuesta es verdad o mentira, con lo que estará menos dispuesto a mentir. Esta protección de la privacidad del encuestado hace que no podamos conocer cada respuesta individual pero, a cambio, sí podemos conocer el comportamiento agregado de la muestra de encuestados, aunque siempre con cierta incertidumbre. ¿Cómo lo hacemos?. Desarrollemos el ejemplo del dado.

Pensemos quien nos contestará “sí”. Por una parte, aquellos que saquen uno o dos con el dado. La probabilidad de esto es p (2/6 en nuestro caso). Si encuesto a n personas, sacarán uno o dos un total de n multiplicado por p personas (esto es la suma de éxitos en una serie aplicando la teoría de probabilidad binomial).

Por otra parte, contestarán “sí” el resto que, además de sacarse los mocos, saque de tres a seis con el dado. El número será n (el total de encuestados) multiplicado por la probabilidad del resultado del dado (1-p, 4/6 en nuestro ejemplo) y multiplicado por la probabilidad de padecer este vicio tan sucio (su prevalencia, Pr, que es lo que queremos conocer).

Así que si sumamos los “sí” obligados más los verdaderos obtenemos la siguiente fórmula, donde m son los que contestan que sí se sacan los mocos:

m = np + n(1-p)Pr

Con lo que podemos despejar Pr usando nuestros vastos conocimientos de álgebra:

Pr = [(m/n)-p] / 1-p

Supongamos que encuestamos a 100 individuos y contestan que sí 62. ¿Cuántos se comen los mocos de verdad?. Si sustituimos los valores en nuestra fórmula (m=62, n=100, p=2/6) obtenemos una cifra de 0,43. Quiere decir que al menos un 43% aprovecha los semáforos en rojo para hacer trabajos de minería. Y la cifra real será seguramente mayor, porque siempre habrá quien mienta a pesar de nuestra ingeniosa argucia.

Esta p es lo que se conoce como factor de ofuscación y podemos jugar con su valor  usando monedas, otras combinaciones de dados o lo que sea. Hay que tener cuidado al elegir su valor. Si es muy grande el sujeto se sentirá más confiado para responder sinceramente, pero la imprecisión en el cálculo será mayor. Por otro lado, cuanto más pequeña más miedo tendrá el encuestado de que se le vincule con la respuesta real, por lo que tenderá  a mentir como un bellaco. Como siempre, en el medio estará la virtud.

Los que no os hayáis ido a vomitar habéis podido ver como nos hemos servido del cálculo de la probabilidad binomial para abordar esta cuestión tan asquerosa. Por cierto, si os fijáis, esto que hemos hecho se parece mucho al cálculo de la prevalencia de una enfermedad en una población a partir de la sensibilidad y especificidad de una prueba diagnóstica. Pero esa es otra historia…