Estadística archivos - Página 2 de 9 - Ciencia sin seso... locura doble

Pareja con pareja

Publicado el 2 julio, 2019 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Todos conoceréis el caso de alguien que, tras realizar un estudio y recoger varios millones de variables, se ha dirigido al estadístico de su centro de trabajo y, demostrando de forma fehaciente su claridad de ideas respecto a su trabajo, le ha dicho: por favor (hay que ser educados), crúzalo todo con todo, a ver qué sale.

Llegados a este punto te pueden ocurrir varias cosas. Si el estadístico es un desalmado sin escrúpulos te dirigirá una media sonrisa y te dirá que vuelvas al cabo de unos días. Entonces te dará varios centenares de hojas con gráficos, tablas y números que no sabrás por dónde coger. Otra cosa que te puede ocurrir es que te mande a paseo, cansado como estará de que le hagan peticiones semejantes.

Pero puedes tener suerte y encontrar un estadístico competente y paciente que, de forma abnegada, te explicará que la cosa no debe funcionar así. Lo lógico es que tú, antes de recoger ningún dato, hayas elaborado una memoria del proyecto en la que esté previsto, entre otras cosas, qué hay que analizar y qué variables hay que cruzar entre sí. Incluso, te puede sugerir que, si el análisis no es muy complicado, intentes hacerlo tú mismo.

Esto último te puede parecer el desvarío de una mente trastornada por las matemáticas pero, si lo piensas un momento, no es tan mala idea. Si nosotros hacemos el análisis, al menos el preliminar, de nuestros resultados, nos puede ayudar a entender mejor el estudio. Además, ¿quién mejor que nosotros mismos puede saber lo que queremos?

Con los paquetes estadísticos actuales, la estadística bivariante más sencilla puede estar a nuestro alcance. Únicamente tenemos que tener buen cuidado en saber elegir el test de contraste de hipótesis adecuado, para lo cual habremos de tener en cuenta tres aspectos: el tipo de variables que queremos comparar, si los datos son apareados o independientes y si tenemos que utilizar test paramétricos o no paramétricos. Veamos estos tres aspectos.

En cuanto al tipo de variables, existen múltiples denominaciones según la clasificación o el paquete estadístico que utilicemos pero, simplificando, diremos que hay tres tipos de variables. En primer lugar, están las continuas o de escala. Como su nombre indica, recogen el valor de una variable continua como puede ser el peso, la talla, la glucemia, etc. En segundo lugar, están las variables nominales, que constan de dos o más categorías que son mutuamente excluyentes. Por ejemplo, la variable color de pelo puede tener las categorías “moreno”, “rubio” y “pelirrojo”. Cuando estas variables tienen dos categorías, las llamamos dicotómicas (sí/no, vivo/muerto, etc.). Por último, cuando las categorías están ordenadas por rango, hablamos de variables ordinales: “no fuma”, “fuma poco”, “fuma moderadamente”, “fuma mucho”. Aunque a veces puedan usar números, estos indican la posición de las categorías dentro de la serie, sin implicar, por ejemplo, que la distancia de la categoría 1 a la 2 sea la misma que la de la 2 a la 3. Por ejemplo, podemos clasificar el reflujo vesicoureteral en grados I, II, III y IV (tener un grado IV es más que un II, pero no significa que se tenga el doble de reflujo).

Saber qué tipo de variable tenemos entre manos es sencillo. Si tenemos duda, podemos seguir el siguiente razonamiento basado en la respuesta a dos preguntas:

¿Tiene la variable valores teóricos infinitos? Aquí hay que abstraerse un poco y fijarse en los de “valores teóricos”. Por ejemplo, si recogemos el peso de nuestros participantes, los valores teóricos serán infinitos aunque, en la práctica, esto estará limitado por la precisión de nuestra báscula. Si la respuesta es sí estaremos antes una variable continua o de escala. Si es no, pasamos a la siguiente pregunta.
¿Los valores están ordenados en algún tipo de rango? Si la respuesta es sí, nos encontraremos ante una variable ordinal. Si la respuesta es no, tendremos una variable nominal.

El segundo aspecto es el de las medidas apareadas o independientes. Dos medidas están apareadas cuando se mide una variable en dos ocasiones tras haber aplicado algún cambio, habitualmente en el mismo sujeto. Por ejemplo: presión arterial antes y después de un test de esfuerzo, peso antes y después de una intervención nutricional, etc. Por su parte, las medidas independientes son aquellas que no tienen relación entre sí (son variables diferentes): peso, talla, género, edad, etc.

Por último, hemos mencionado lo de poder utilizar test paramétricos o no paramétricos. No vamos a entrar ahora en detalle, pero para poder utilizar un test paramétrico la variable debe cumplir una serie de características, como seguir una distribución normal, tener un determinado tamaño muestral, etc. Además, hay técnicas que son más exigentes que otras a la hora de tener que cumplir estas condiciones. Ante la duda, es preferible utilizar técnicas no paramétricas sin necesidad (el único problema es que es más difícil conseguir significación estadística, pero el contraste es igual de válido) que usar una prueba paramétrica cuando no se cumplan los requisitos necesarios.

Una vez que ya hemos dado respuesta a estos tres aspectos, solo nos queda hacer las parejas de variables que vamos a comparar y elegir el test estadístico apropiado. Lo podéis ver resumido en la tabla adjunta.En las filas está representado el tipo de variable independiente, que es aquella cuyo valor no depende de otra variable (suele estar en el eje x de las representaciones gráficas) y que suele ser la que modificamos en el estudio para ver el efecto sobre otra variable (la dependiente). En las columnas, por su parte, tenemos la variable dependiente, que es aquella cuyo valor se modifica con los cambios de la variable independiente. De todas formas, no os lieis: el programa estadístico hará el contraste de hipótesis sin tener en cuenta cuál es la dependiente y cuál la independiente, solo tendrá en cuenta los tipos de variables.

La tabla se explica sola, así que no le vamos a dar muchas vueltas. Por ejemplo, si hemos medido la presión arterial (variable de escala) y queremos saber si hay diferencias entre hombres y mujeres (género, variable nominal dicotómica), el test adecuado será el de la t de Student para muestras independientes. Si quisiéramos ver si hay diferencia en la presión antes y después de un tratamiento, utilizaríamos el mismo test de la t de Student pero para muestras apareadas.

Otro ejemplo: si queremos saber si hay diferencias significativas en el color de pelo (nominal politómica: “rubio”, “moreno” y “pelirrojo) y si el participante es del norte o sur de Europa (nominal dicotómica), podríamos emplear un test de la Ji-cuadrado.

Y aquí lo vamos a dejar por hoy. No hemos hablado nada de las peculiaridades de cada test que debemos tener en cuenta, sino que solo hemos mencionado el test en sí. Por ejemplo, la ji-cuadrado tiene que cumplir unos mínimos en cada casilla de la tabla de contingencia, en el caso de la t de Student debemos considerar si las varianzas son iguales (homocedasticidad) o no, etc. Pero esa es otra historia…

Aquiles y el bosque de los efectos

Publicado el 26 junio, 2018 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Sesgo de publicación

Aquiles. ¡Qué tío! Sin duda, uno de los más famosos de todo el follón que armaron en Troya por culpa de Helena la guapa. Ya sabéis su historia. El tío era la leche porque su madre, que era nada menos que la ninfa Tetis, lo bañó en ambrosía y lo sumergió en la laguna Estigia para que fuese invulnerable. Pero cometió un error que una ninfa no debiera haberse permitido: lo agarró por el talón derecho, que no se mojó en la laguna. Así que de ahí le viene a Aquiles su punto débil. Héctor no se dio cuenta a tiempo pero Paris, bastante más espabilado, le metió un flechazo en el talón y lo mandó otra vez a la laguna, pero no al agua, sino al otro lado. Y sin barquero.

Este cuento es el origen de la expresión “talón de Aquiles”, que suele referirse al punto más débil o vulnerable de alguien o algo que, por lo demás, suele ser conocido por su fortaleza.

El sesgo de publicación

Por ejemplo, algo tan robusto y formidable como el metanálisis tiene su talón de Aquiles: el sesgo de publicación. Y eso se debe a que en el mundo de la ciencia no hay justicia social.

Todos los trabajos científicos deberían tener las mismas oportunidades de ser publicados y alcanzar la fama, pero la realidad no es en absoluto así y los trabajos pueden verse discriminados por cuatro razones: significación estadística, popularidad del tema que tratan, el tener alguien que los apadrine y el idioma en que están escritos.

Estos son los principales factores que pueden contribuir a este sesgo de publicación. En primer lugar, es más probable que se publiquen los estudios con resultados significativos y, dentro de estos, es más probable que se publiquen cuando el efecto es mayor. Esto hace que los estudios con resultados negativos o con efectos de pequeña magnitud puedan no llegar a ser publicados, con lo que sacaremos una conclusión sesgada del análisis solo de los estudios grandes con resultado positivo. De igual manera, los trabajos sobre temas de interés público tienen más probabilidad de ser publicados con independencia de la importancia de sus resultados. Además, el padrino también influye: una casa comercial que financie un estudio de un producto suyo y le salga mal, encima no va a publicarlo para que todos sepamos que su producto no es útil.

En segundo lugar, como es lógico, los estudios publicados tienen más probabilidad de llegar a nuestras manos que los que no se publican en revistas científicas. Es el caso de tesis doctorales, comunicaciones a congresos, informes de agencias gubernamentales o, incluso, estudios pendientes de publicar realizados por investigadores del tema que estemos tratando. Por este motivo es tan importante hacer una búsqueda que incluya este tipo de trabajos, que se engloban dentro del término de literatura gris.

Por último, pueden enumerarse una serie de sesgos que influyen en la probabilidad de que un trabajo sea publicado o recuperado por el investigador que realiza la revisión sistemática tales como el sesgo de lenguaje (limitamos la búsqueda por idioma), el sesgo de disponibilidad (se incluyen solo los estudios que son fáciles de recuperar por parte del investigador), el sesgo de coste (se incluyen estudios que son gratis o baratos), el sesgo de familiaridad (solo se incluyen los de la disciplina del investigador), el sesgo de duplicación (los que tienen resultados significativos tienen más probabilidad de ser publicados más de una vez) y el sesgo de citación (los estudios con resultado significativo tienen más probabilidad de ser citados por otros autores).

Uno puede pensar que esto de perder trabajos durante la revisión no puede ser tan grave, ya que podría argumentarse, por ejemplo, que los estudios no publicados en revistas con revisión por pares suelen ser de peor calidad, por lo que no merecen ser incluidos en el metanálisis. Sin embargo, no está claro ni que las revistas científicas aseguren la calidad metodológica del trabajo ni que este sea el único método para hacerlo. Hay investigadores, como los de las agencias gubernamentales, que no están interesados en publicar en revistas científicas, sino en elaborar informes para quienes los encargan. Además, la revisión por pares no es garantía de calidad ya que, con demasiada frecuencia, ni el investigador que realiza el trabajo ni los encargados de revisarlo tienen una formación en metodología que asegure la calidad del producto final.

Todo esto puede verse empeorado por el hecho de que estos mismos factores pueden influir en los criterios de inclusión y exclusión de los estudios primarios del metanálisis, de tal forma que obtenemos una muestra de trabajos que puede no ser representativa del conocimiento global sobre el tema del que trate la revisión sistemática y el metanálisis.

Si tenemos un sesgo de publicación la aplicabilidad de los resultados se verá seriamente comprometida. Por esto decimos que el sesgo de publicación es el verdadero talón de Aquiles del metanálisis.

Si delimitamos correctamente los criterios de inclusión y exclusión de los estudios y hacemos una búsqueda global y sin restricciones de la literatura habremos hecho todo lo posible para minimizar el riesgo de sesgo, pero nunca podremos estar seguros de haberlo evitado. Por eso se han ideado técnicas y herramientas para su detección.

Estudio del sesgo de publicación

La más usada tiene el simpático nombre de gráfico en embudo, aunque es más conocido por su nombre en inglés: funnel plot. En él se representa la magnitud del efecto medido (eje X) frente a una medida de precisión (eje Y), que suele ser el tamaño muestral, pero que puede también ser el inverso de la varianza o el error estándar. Representamos cada estudio primario con un punto y observamos la nube de puntos.

En la forma más habitual, con el tamaño de la muestra en el eje Y, la precisión de los resultados será mayor en los estudios de muestra más grande, con lo que los puntos estarán más juntos en la parte alta del eje y se irán dispersando al acercarnos al origen del eje Y. De esta forma, se observa una nube de puntos en forma de embudo, con la parte ancha hacia abajo. Este gráfico debe ser simétrico y, en caso de que no sea así, debemos sospechar siempre un sesgo de publicación. En el segundo ejemplo que os pongo podéis ver como “faltan” los estudios que están hacia el lado de falta de efecto: esto puede significar que solo se publican los estudios con resultado positivo.

Este método es muy sencillo de utilizar pero, en ocasiones, podemos tener dudas acerca de la asimetría de nuestro embudo, sobre todo si el número de estudios es pequeño. Además, el embudo puede ser asimétrico por defectos de la calidad de los estudios o porque estemos tratando con intervenciones cuyo efecto varíe según el tamaño de la muestra de cada estudio. Para estos casos se han ideado otros métodos más objetivos como la prueba de correlación de rangos de Begg y la prueba de regresión lineal de Egger.

La prueba de Begg estudia la presencia de asociación entre las estimaciones de los efectos y sus varianzas. Si existe correlación entre ellos, mal asunto. El problema de esta prueba es que tiene poca potencia estadística, por lo que es poco de fiar cuando el número de estudios primarios es pequeño.

La prueba de Egger, más específica que la de Begg, consiste en representar gráficamente la recta de regresión entre la precisión de los estudios (variable independiente) y el efecto estandarizado (variable dependiente). Esta regresión hay que ponderarla por el inverso de la varianza, así que no os recomiendo que la hagáis por vuestra cuenta, salvo que seáis estadísticos consumados. Cuando no hay sesgo de publicación la recta de regresión se origina en el cero del eje Y. Cuánto más se aleje del cero, mayor evidencia de sesgo de publicación.

Como siempre, existen programas informáticos que hacen estas pruebas con rapidez sin que tengamos que quemarnos el cerebro con sus cálculos.

¿Y si después de hacer el trabajo vemos que hay sesgo de publicación? ¿Podemos hacer algo para ajustarlo? Como siempre, podemos.

La forma más sencilla es utilizar un método gráfico que se llama de ajuste y relleno (trim and fill para los amantes del inglés). Consiste en lo siguiente: a) dibujamos el funnel plot; b) quitamos los estudios pequeños para que el embudo sea simétrico; c) se determina el nuevo centro del gráfico; d) se vuelven a poner los estudios quitados y añadimos su reflejo al otro lado de la línea central; e) reestimamos el efecto.

Otros métodos de estudio del sesgo de publicación

Otra actitud muy conservadora que podemos adoptar es dar por hecho que existe un sesgo de publicación y preguntarnos cuánto afecta nuestros resultados, dando por hecho que nos hemos dejado estudios sin incluir en el análisis.

La única forma de saber si el sesgo de publicación afecta a nuestras estimaciones sería comparar el efecto en los estudios recuperados y en los no recuperados pero, claro está, entonces no tendríamos que preocuparnos por el sesgo de publicación.

Para saber si el resultado observado es robusto o, por el contrario, es susceptible de estar sesgado por un sesgo de publicación, se han ideado dos métodos de la N de seguridad, los conocidos en inglés como los métodos fail-safe N.

El primero es el método de la N de seguridad de Rosenthal. Supongamos que tenemos un metanálisis con un efecto que es estadísticamente significativo, por ejemplo, un riesgo relativo mayor que uno con una p < 0,05 (o un intervalo de confianza del 95% que no incluye el valor nulo, el uno). Entonces nos hacemos una pregunta: ¿cuántos estudios con RR = 1 (valor nulo) tendremos que incluir hasta que la p no sea significativa? Si necesitamos pocos estudios (menos de 10) para hacer nulo el valor del efecto, podemos preocuparnos porque puede que el efecto sea nulo en realidad y nuestra significación sea producto de un sesgo de publicación. Por el contrario, si hacen falta muchos estudios, probablemente el efecto sea significativo de verdad. Este número de estudios es lo que significa la letra N del nombre del método.

El problema de este método es que se centra en la significación estadística y no en la importancia de los resultados. Lo correcto sería buscar cuántos estudios hacen falta para que el resultado pierda importancia clínica, no significación estadística. Además, asume que los efectos de los estudios faltantes es nulo (uno en caso de riesgos relativos y odds ratios, cero en casos de diferencias de medias), cuando el efecto de los estudios faltantes puede ir en sentido contrario que el efecto que detectamos o en el mismo sentido pero de menor magnitud.

Para evitar estos inconvenientes existe una variación de la fórmula anterior que valora la significación estadística y la importancia clínica. Con este método, que se denomina el de la N de seguridad de Orwin, se calcula cuántos estudios hacen falta para llevar el valor del efecto a un valor específico, que será generalmente el menor efecto que sea clínicamente importante. Este método permite también especificar el efecto medio de los estudios faltantes.

La declaración PRISMA

Para terminar con el metanálisis, veamos cuál es la forma correcta de expresar los resultados del análisis de los datos. Para hacerlo bien, podemos seguir las recomendaciones de la declaración PRISMA, que dedica siete de sus 27 ítems a darnos consejos de cómo presentar los resultados de un metanálisis.

Primero debemos informar sobre el proceso de selección de estudios: cuántos hemos encontrado y evaluado, cuántos hemos seleccionado y cuántos rechazado, explicando además las razones para hacerlo. Para esto resulta muy útil el diagrama de flujo que debe incluir la revisión sistemática de la que procede el metanálisis si se acoge a la declaración PRISMA.

En segundo lugar deben especificarse las características de los estudios primarios, detallando qué datos sacamos de cada uno de ellos y sus correspondientes citas bibliográficas para facilitar que cualquier lector del trabajo pueda comprobar los datos si no se fía de nosotros. En este sentido va también el tercer apartado, que se refiere a la evaluación del riesgo de sesgos de los estudios y su validez interna.

Cuarto, debemos presentar los resultados de cada estudio individual con un dato resumen de cada grupo de intervención analizado junto con los estimadores calculados y sus intervalos de confianza. Estos datos nos servirán para confeccionar la información que PRISMA nos pide en su quinto punto referente a la presentación de resultados y no es otro que la síntesis de todos los estudios del metanálisis, sus intervalos de confianza, resultados del estudio de homogeneidad, etc.

Esto suele hacerse de forma gráfica mediante un diagrama de efectos, una herramienta gráfica popularmente más conocida por su nombre en inglés: el forest plot. Este gráfico es una especie de bosque donde los árboles serían los estudios primarios del metanálisis y donde se resumen todos los resultados relevantes de la síntesis cuantitativa.

La Cochrane Collaboration recomienda estructurar el forest plot en cinco columnas bien diferenciadas. En la columna 1 se listan los estudios primarios o los grupos o subgrupos de pacientes incluidos en el metanálisis. Habitualmente se representan por un identificador compuesto por el nombre del primer autor y la fecha de publicación.La columna 2 nos muestra los resultados de las medidas de efecto de cada estudio tal como las refieren sus respectivos autores.

La columna 3 es el forest plot propiamente dicho, la parte gráfica del asunto. En él se representan las medidas de efecto de cada estudio a ambos lados de la línea de efecto nulo, que ya sabemos que es el cero para diferencias de media y el uno para odds ratios, riesgos relativos, hazard ratios, etc. Cada estudio se representa por un cuadrado cuya área suele ser proporcional a la contribución de cada uno al resultado global. Además, el cuadrado está dentro de un segmento que representa los extremos de su intervalo de confianza.

Estos intervalos de confianza nos informan sobre la precisión de los estudios y nos dicen cuáles son estadísticamente significativos: aquellos cuyo intervalo no cruza la línea de efecto nulo. De todas formas, no olvidéis que, aunque crucen la línea de efecto nulo y no sean estadísticamente significativos, los límites del intervalo pueden darnos mucha información sobre la importancia clínica de los resultados de cada estudio. Por último, en el fondo del gráfico encontraremos un diamante que representa el resultado global del metanálisis. Su posición respecto a la línea de efecto nulo nos informará sobre la significación estadística del resultado global, mientras que su anchura nos dará una idea de su precisión (su intervalo de confianza). Además, en la parte superior de esta columna encontraremos el tipo de medida de efecto, el modelo de análisis de datos que se ha utilizados (efectos fijos o efectos aleatorios) y el valor de significación de los intervalos de confianza (habitualmente 95%).

Suele completar este gráfico una cuarta columna con la estimación del peso de cada estudio en tantos por cien y una quinta columna con las estimaciones del efecto ponderado de cada uno. Y en algún rinconcillo de todo este bosque estará la medida de heterogeneidad que se ha utilizado, junto con su significación estadística en los casos en que sea pertinente.

Para finalizar la exposición de los resultados, PRISMA recomienda un sexto apartado con la evaluación que se haya hecho de los riesgos de sesgo del estudio y un séptimo con todos los análisis adicionales que haya sido necesario realizar: estratificación, análisis de sensibilidad, metarregresión, etc.

Lo que dice la Cochrane

Como veis, nada es fácil en esto de los metanálisis. Por eso, la Cochrane recomienda seguir una serie de pasos para interpretar correctamente los resultados. A saber:

Verificar qué variable se compara y cómo. Suele verse en la parte superior del forest plot.
Localizar la medida de efecto utilizada. Esto es lógico y necesario para saber interpretar los resultados. No es lo mismo una hazard ratio que una diferencia de medias o lo que sea que se haya usado.
Localizar el diamante, su posición y su amplitud. Conviene también fijarse en el valor numérico del estimador global y en su intervalo de confianza.
Comprobar que se ha estudiado la heterogeneidad. Esto puede verse a ojo mirando si los segmentos que representan los estudios primarios están o no muy dispersos y si se solapan o no. En cualquier caso, siempre habrá un estadístico que valore el grado de heterogeneidad. Si vemos que existe heterogeneidad, lo siguiente será buscar qué explicación dan los autores sobre su existencia.
Sacar nuestras conclusiones. Nos fijaremos en qué lado de la línea de efecto nulo están el efecto global y su intervalo de confianza. Ya sabéis que, aunque sea significativo, el límite inferior del intervalo conviene que esté lo más lejos posible de la línea, por aquello de la importancia clínica, que no siempre coincide con la significación estadística. Por último, volved a mirar el estudio de homogeneidad. Si hay mucha heterogeneidad los resultados no serán tan fiables.

Nos vamos…

Y con esto damos por finalizado el tema del metanálisis. En realidad, el forest plot no es exclusivo de los metanálisis y puede usarse siempre que queramos comparar estudios para dilucidar su significación estadística o clínica, o en casos como los estudios de equivalencia, en los que a la línea de efecto nulo se le unen las de los umbrales de equivalencia. Pero aún tiene una utilidad más. Una variante del forest plot sirve también para valorar si existe sesgo de publicación en la revisión sistemática aunque, como ya sabemos, en estos casos le cambiamos el nombre por el de gráfico en embudo. Pero esa es otra historia…

Churras y merinas

Publicado el 29 mayo, 2018 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Estudio de la heterogeneidad en el metanálisis

Todos conoceréis el cuento chino del pobre grano de arroz solitario que se cae al suelo y no lo oye nadie. Claro que si en lugar de caerse un grano se cae un saco lleno de arroz eso ya será otra cosa. Hay muchos ejemplos de que la unión hace la fuerza. Una hormiga roja es inofensiva, salvo que te muerda en alguna zona blanda y noble, que suelen ser las más sensibles. Pero ¿qué me decís de una marabunta de millones de hormigas rojas? Eso sí que acojona, porque si se juntan todas y vienen a por ti, poco podrás hacer para parar su empuje. Sí, la unión hace la fuerza.

Y esto también pasa en estadística. Con una muestra relativamente pequeña de votantes bien elegidos podemos estimar quién va a ganar unas elecciones en las que votan millones. Así que, ¿qué no podríamos hacer con un montón de esas muestras? Seguro que la estimación sería más fiable y más generalizable.

Entrando en materia

Pues bien, esta es precisamente una de las finalidades del metanálisis, que utiliza diversas técnicas estadísticas para hacer una síntesis cuantitativa de los resultados de un conjunto de estudios que, aunque tratan de responder a la misma pregunta, no llegan exactamente al mismo resultado. Pero cuidado, no podemos ponernos a juntar estudios para sacar conclusiones sobre la suma de ellos sin antes tomar una serie de precauciones. Esto sería como mezclar churras con merinas que, no sé muy bien porqué, debe ser algo terriblemente peligroso porque todo el mundo sabe que es algo a evitar.

Pensad que tenemos un conjunto de ensayos clínicos sobre un mismo tema y queremos hacer un metanálisis para obtener un resultado global. Es más que conveniente que exista la menor variabilidad posible entre los estudios si queremos combinarlos. Porque, señoras y señores, aquí también impera aquello de juntos, pero no revueltos.

Antes de pensar en combinar los resultados de los estudios de una revisión sistemática para hacer un metanálisis debemos hacer siempre un estudio previo de la heterogeneidad de los estudios primarios, que no es más que la variabilidad que existe entre los estimadores que se han obtenido en cada uno de esos estudios.

Estudio de la heterogeneidad en el metanálisis

En primer lugar, investigaremos posibles causas de heterogeneidad, como pueden ser diferencias en los tratamientos, variabilidad de las poblaciones de los diferentes estudios y diferencias en los diseños de los ensayos. Si existe mucha heterogeneidad desde el punto de vista clínico, quizás lo más idóneo sea no hacer metanálisis y limitarnos a realizar un análisis de síntesis cualitativa de los resultados de la revisión.

Una vez que llegamos a la conclusión de que los estudios se parecen lo suficiente como para intentar combinarlos debemos tratar de medir esta heterogeneidad para tener un dato objetivo. Para esto, diversos cerebros privilegiados han creado una serie de estadísticos que contribuyen a nuestra cotidiana selva de siglas y letras.

Empezamos con las letras

Hasta hace poco el más famoso era la Q de Cochran, que no tiene nada que ver ni con el amigo de James Bond ni con nuestro amigo Archie Cochrane. Su cálculo tiene en cuenta la suma de las desviaciones entre el resultado del estudio y el resultado global (elevados al cuadrado por aquello de que no se anulen positivas con negativas), ponderando cada estudio según su contribución al resultados global. Parece impresionante pero, en realidad, no es para tanto. En el fondo no es más que una prima aristócrata de la ji-cuadrado. En efecto, la Q sigue una distribución ji-cuadrado con k-1 grados de libertad (k es el número de estudios primarios). Calculamos su valor, buscamos en la distribución de frecuencias la probabilidad de que la diferencia no se deba al azar y tratamos de rechazar nuestra hipótesis nula (que asume que las diferencias entre estudios son debidas al azar). Pero la Q, a pesar de sus apariencias, tiene una serie de debilidades.

En primer lugar, es un parámetro conservador y debemos siempre tener en cuenta que no significativo no es sinónimo obligatoriamente de ausencia de heterogeneidad: simplemente, no podemos rechazar la hipótesis nula, así que la damos como buena, pero siempre con el riesgo de cometer un error de tipo II y columpiarnos. Por esto, algunos proponen utilizar un nivel de significación de p<0,1 en lugar de la p<0,05 habitual. Otro fallo que tiene la Q es que no cuantifica el grado de heterogeneidad y, por supuesto, tampoco da razones de las causas que la producen. Y, por si fuera poco, pierde potencia cuando el número de estudios es pequeño y no permite comparar diferentes metanálisis entre sí si el número de estudios es diferente.

Por estos motivos se ha desarrollado otro estadístico que es mucho más celebre en la actualidad: la I². Este parámetro proporciona una estimación de la variabilidad total entre los estudios respecto a la variabilidad total lo que, dicho de otro modo, es la proporción de la variabilidad debida a diferencias reales entre los estimadores respecto a la variabilidad debida al azar (dicho de forma aún más sencilla, la proporción de variabilidad no debida al azar). Además, es menos sensible a la magnitud del efecto y al número de estudios. También parece impresionante, pero en realidad es otra prima aventajada del coeficiente de correlación intraclase.

Su valor va de 0 a 100%, considerándose habitualmente los límites de 25%, 50% y 75% para delimitar cuando existe una heterogeneidad baja, moderada y alta, respectivamente. La I² no depende de las unidades de medida de los efectos ni del número de estudios, por lo que sí permite comparaciones con distintas medidas de efecto y entre diferentes metanálisis con diferente número de estudios.

Si encontráis algún estudio con Q pero sin I², o viceversa, y queréis calcular el que no tenéis, podéis utilizar la siguiente formulilla, donde k es el número de estudios primarios:

$I^{2}= \frac{Q-k+1}{Q}$

Existe un tercer parámetro menos conocido, pero no por ello menos digno de mención: la H². Esta H² mide el exceso del valor de Q respecto del valor que esperaríamos obtener si no existiese heterogeneidad. Por tanto, un valor de 1 significa que no hay heterogeneidad y su valor aumenta cuando aumenta la heterogeneidad entre los estudios. Pero su verdadero interés es que permite el cálculo de intervalos de confianza para la I².

Otras veces los autores realizan un contraste de hipótesis con una hipótesis nula de no heterogeneidad y utilizan una chi ji-cuadrado o algún estadístico similar. En estos casos, lo que proporcionan es un valor de significación estadística. Si la p es < 0,05 se puede rechazar la hipótesis nula y decir que hay heterogeneidad. En caso contrario diremos que no podemos rechazar la hipótesis nula de no heterogeneidad.

En resumen, siempre que veamos un indicador de homogeneidad que represente un porcentaje nos indicará la proporción de variabilidad que no es debida al azar. Por su parte, cuando nos den una “p” habrá heterogeneidad significativa cuando la “p” sea menor de 0,05.

No os preocupéis por los cálculos de Q, I² y H². Para eso se usan programas específicos como RevMan o módulos que hacen la misma función dentro de los programas de estadística habituales.

Métodos gráficos para el estudio de la heterogeneidad en el metanálisis

Un punto de atención: recordad siempre que no poder demostrar heterogeneidad no siempre quiere decir que los estudios sean homogéneos. El problema es que la hipótesis nula asume que son homogéneos y las diferencias se deben al azar. Si podemos rechazarla podemos asegurar que hay heterogeneidad (siempre con un pequeño grado de incertidumbre). Pero esto no funciona al revés: si no podemos rechazarla quiere decir simplemente eso, que no podemos rechazar que no haya heterogeneidad, pero siempre habrá una probabilidad de cometer un error de tipo II si asumimos directamente que los estudios son homogéneos.

Por este motivo se han ideado una serie de métodos gráficos para inspeccionar los estudios y comprobar que no hay datos de heterogeneidad aunque los parámetros numéricos digan otra cosa.

Quizás el más utilizado sea el gráfico de Galbraith, que puede emplearse tanto para ensayos como para metanálisis de estudios observacionales. Este gráfico, que podéis ver en la primera figura, representa la precisión de cada estudio frente a su efecto estandarizado junto con la línea de la ecuación de regresión ajustada y unas bandas de confianza. La posición de cada estudio respecto al eje de la precisión indica el peso de su contribución al resultado global, mientras que su localización fuera de las bandas de confianza indica su contribución a la heterogeneidad.

El gráfico de Galbraith puede resultar útil también para detectar fuentes de heterogeneidad, ya que se pueden etiquetar los estudios según diferentes variables y ver como contribuyen a la heterogeneidad global.

Otra herramienta que puede utilizarse para metanálisis de ensayos clínicos es el gráfico de L’Abbé (segunda figura), que representa las tasas de respuesta de los grupos de tratamiento y de control y su posición respecto a la diagonal. Por encima de la diagonal quedan los estudios con resultado favorable al tratamiento, mientras que por debajo están aquellos con resultado favorable al control. Los estudios suelen representarse con un área proporcional a su precisión y su dispersión indica heterogeneidad. Además, en ocasiones pueden dar información adicional. Por ejemplo, en el gráfico que os adjunto podéis ver que a riesgos bajos los estudios están en el área del control, mientras que en riesgos altos van hacia la zona favorable al tratamiento. Esta distribución, además de ser sugestiva de heterogeneidad, puede sugerirnos que la eficacia del tratamiento depende del nivel de riesgo o, dicho de otro modo, que tenemos alguna variable modificadora de efecto en nuestro estudio. Una pequeña pega de esta herramienta es que solo es aplicable a metanálisis de ensayos clínicos y cuando la variable dependiente es dicotómica.

Hay que darle a cada uno su peso

Bien, supongamos que hacemos el estudio de heterogeneidad y decidimos que vamos a combinar los estudios para hacer el metanálisis. El siguiente paso es analizar los estimadores del tamaño de efecto de los estudios, ponderándolos según la contribución que cada estudio va a tener sobre el resultado global. Esto es lógico, no puede contribuir lo mismo al resultado final un ensayo con pocos participantes y un resultado poco preciso que otro con miles de participantes y una medida de resultado más precisa.

La forma más habitual de tener en cuenta estas diferencias es ponderar la estimación del tamaño del efecto por la inversa de la varianza de los resultados, realizando posteriormente el análisis para obtener el efecto medio. Para estos hay varias posibilidades, algunas de ellas muy complejas desde el punto de vista estadístico, aunque los dos métodos que se utilizan con más frecuencia son el modelo de efecto fijo y el modelo de efectos aleatorios. Ambos modelos difieren en la concepción que hacen de la población de partida de la que proceden los estudios primarios del metanálisis.

Los dos modelos

El modelo de efecto fijo considera que no existe heterogeneidad y que todos los estudios estiman el mismo tamaño de efecto de la población (todos miden el mismo efecto, por eso se llama de efecto fijo), por lo que se asume que la variabilidad que se observa entre los estudios individuales se debe únicamente al error que se produce al realizar el muestreo aleatorio en cada estudio. Este error se cuantifica estimando la varianza intraestudios, asumiendo que las diferencias en los tamaños de efecto estimados se deben solo a que se han utilizado muestras de sujetos diferentes.

Por otro lado, en el modelo de efectos aleatorios se parte de la base de que el tamaño de efecto varía en cada estudio y sigue una distribución de frecuencias normal dentro de la población, por lo que cada estudio estima un tamaño de efecto diferente. Por lo tanto, además de la varianza intraestudios debida al error del muestreo aleatorio, el modelo incluye también la variabilidad entre estudios, que representaría la desviación de cada estudio respecto del tamaño de efecto medio. Estos dos términos de error son independientes entre sí, contribuyendo ambos a la varianza del estimador de los estudios.

En resumen, el modelo de efecto fijo incorpora solo un término de error por la variabilidad de cada estudio, mientras que el de efectos aleatorios añade, además, otro término de error debido a la variabilidad entre los estudios.

Veis que no he escrito ni una sola fórmula. En realidad no nos hace falta conocerlas y son bastante antipáticas, llenas de letras griegas que no hay quien las entienda. Pero no os preocupéis. Como siempre, los programas estadísticos como RevMan de la Cochrane Collaboration permiten hacer los cálculos de forma sencilla, quitando y sacando estudios del análisis y cambiando de modelo según nos apetezca.

El tipo de modelo a elegir tiene su importancia. Si en el análisis previo de homogeneidad vemos que los estudios son homogéneos podremos utilizar el modelo de efecto fijo. Pero si detectamos que existe heterogeneidad, dentro de los límites que nos permitan combinar los estudios, será preferible usar el modelo de efectos aleatorios.

Otra consideración a realizar es la de la aplicabilidad o validez externa de los resultados del metanálisis. Si hemos utilizado el modelo de efecto fijo será comprometido generalizar los resultados fuera de las poblaciones con características similares a las de los estudios incluidos. Esto no ocurre con los resultados obtenidos utilizando el modelo de efectos aleatorios, cuya validez externa es mayor por provenir de poblaciones de diferentes estudios.

En cualquier caso, obtendremos una medida de efecto medio junto con su intervalo de confianza. Este intervalo de confianza será estadísticamente significativo cuando no cruce la línea de efecto nulo, que ya sabemos que es cero para diferencias de medias y uno para odds ratios y riesgos relativos. Además, la amplitud del intervalo nos informará sobre la precisión de la estimación del efecto medio en la población: cuánto más ancho, menos preciso, y viceversa.

Si pensáis un poco comprenderéis en seguida porqué el modelo de efectos aleatorios es más conservador que el de efecto fijo en el sentido de que los intervalos de confianza que se obtienen son menos precisos, ya que incorpora más variabilidad en su análisis. En algún caso puede ocurrir que el estimador sea significativo si usamos el de efecto fijo y no lo sea si usamos el de efectos aleatorios, pero esto no debe condicionarnos a la hora de escoger el modelo a utilizar. Siempre debemos basarnos en la medida previa de heterogeneidad aunque, si tenemos dudas, también podemos utilizar los dos y comparar los diferentes resultados.

¿Y si hay heterogeneidad?

Una vez estudiada la homogeneidad de los estudios primarios podemos llegar a la desoladora conclusión de que la heterogeneidad es la reina de la situación. ¿Podemos hacer algo? Claro, podemos. Siempre podemos no combinar los estudios o combinarlos a pesar de la heterogeneidad y obtener una medida resumen, pero habrá que calcular también medidas de variabilidad entre estudios y, aun así, no podremos estar seguros de nuestros resultados.

Otra posibilidad es hacer un análisis estratificado según la variable que cause la heterogeneidad, siempre que seamos capaces de identificarla. Para esto podemos hacer un análisis de sensibilidad, repitiendo los cálculos extrayendo uno a uno cada uno de los subgrupos y ver cómo influyen en el resultado global. El problema es que esto deja de lado el verdadero objetivo del metanálisis, que no es otro que el de obtener un valor global de estudios homogéneos.

Los más sesudos en estos temas pueden, por último, recurrir a la metarregresión. Esta técnica es similar a un modelo de regresión multivariante en el que las características de los estudios se usan como variables explicativas y la variable de efecto o alguna medida de la desviación de cada estudio respecto al global se usa como variable dependiente. Hay que hacer, además, una ponderación según la contribución de cada estudio al resultado global y procurar no meter muchos coeficientes al modelo de regresión si el número de estudios primarios no es muy grande. No os aconsejo que hagáis una metarregresión en vuestra casa si no es acompañados de personas mayores.

Nos vamos…

Y ya solo nos quedaría comprobar que no nos faltan estudios sin recoger y presentar los resultados de forma correcta. Los datos de los metanálisis suelen representarse en un gráfico específico que se suele conocer por su nombre en inglés: el forest plot. Pero esa es otra historia…

Tres patas de un gato

Publicado el 28 febrero, 2017 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Colinealidad en regresión lineal múltiple

Lo de buscarle tres pies al gato, o tres patas, es un dicho muy popular. Parece que se dice que busca tres pies a un gato aquél que trata de demostrar alguna cosa imposible, generalmente con tretas y engaños. En realidad, el refrán inicial hacía referencia a buscar cinco pies en lugar de tres. Esto parece más lógico, ya que como los gatos tienen cuatro patas, encontrarles tres de ellas es cosa fácil, pero encontrar cinco es algo imposible, a no ser que consideremos la cola del gato como otro pie, lo cual no tiene mucho sentido.

Pero hoy no vamos a hablar de gatos con tres, cuatro o cinco pies. Vamos a hablar sobre algo un poco más etéreo, como son los modelos multivariables de regresión lineal múltiple. Este sí que es un gato con multitud de pies, pero nosotros nos vamos a fijar únicamente en tres de ellos que reciben los nombres de colinealidad, tolerancia y factor de inflación (o incremento) de la varianza. Que nadie se desanime, es más fácil de lo que puede parecer de entrada.

Una introducción al problema

Ya vimos en una entrada anterior cómo los modelos de regresión lineal simple relacionaban dos variables entre sí, de forma que las variaciones de una de ellas (la variable independiente o predictora) podían servir para calcular cómo iba a variar la otra variable (la variable dependiente). Estos modelos se representaban según la ecuación y = a + bx, donde x es la variable independiente e y la dependiente.

Pues bien, la regresión lineal múltiple añade más variables independientes, de tal manera que permite hacer predicciones de la variable dependiente según los valores de las variables predictoras o independientes. La fórmula genérica sería la siguiente:

y = a + bx₁ + cx₂ + dx₃ + … + nx_n, siendo n el número de variables independientes.

Una de las condiciones para que el modelo de regresión lineal múltiple funcione adecuadamente es que las variables independientes sean realmente independientes y no estén correlacionadas entre sí.

Imaginad un ejemplo absurdo en el que metemos en el modelo el peso en kilogramos y el peso en libras. Ambas variables variarán del mismo modo. De hecho el coeficiente de correlación, R, será 1, ya que prácticamente las dos representan la misma variable. Ejemplos tan tontos es difícil verlos en los trabajos científicos, pero hay otros menos evidentes (como incluir, por ejemplo la talla y el índice de masa corporal, que se calcula a partir del peso y de la talla) y otros que no son evidentes en absoluto para el investigador. Esto es lo que se llama colinealidad, que no es más que la existencia de una asociación lineal entre el conjunto de las variables independientes.

Colinealidad en regresión lineal múltiple

La colinealidad es un grave problema para el modelo multivariable, ya que las estimaciones obtenidas por el mismo son muy inestables, al hacerse más difícil separar el efecto de cada variable predictora.

Pues bien, para determinar si nuestro modelo sufre de colinealidad podemos construir una matriz donde se muestran los coeficientes de correlación, R, de unas variables con otras. En aquellos casos en los que observemos R altos, podremos sospechar que existe colinealidad. Ahora bien, si queremos cuantificar esto recurriremos a las otras dos patas del gato que hemos comentado al inicio: tolerancia y factor de inflación de la varianza.

Si elevamos el coeficiente R al cuadrado obtenemos el coeficiente de determinación (R²), que representa el porcentaje de la variación (o varianza) de una variable que es explicada por la variación en la otra variable. Así, nos encontramos con el concepto de tolerancia, que se calcula como el complementario de R² (1-R²) y que representa la proporción de la variabilidad de dicha variable que no se explica por el resto de las variables independientes incluidas en el modelo de regresión.

De esta forma, cuanto más baja sea la tolerancia, más probable será que exista colinealidad. Suele considerarse que existe colinealidad cuando R² es superior a 0,9 y, por tanto, la tolerancia está por debajo de 0,1.

Ya solo nos queda la tercera pata, que es el factor de inflación de la varianza. Este se calcula como el inverso de la tolerancia (1/T) y representa la proporción de la variabilidad (o varianza) de la variable que es explicada por el resto de las variables predictoras del modelo. Como es lógico, cuanto mayor sea el factor de inflación de la varianza, mayor será la probabilidad de que exista colinealidad. Generalmente se considera que existe colinealidad cuando el factor de inflación entre dos variables es mayor de 10 o cuando la media de todos los factores de inflación de todas las variables independientes es muy superior a uno.

Nos vamos…

Y aquí vamos a dejar los modelos multivariables por hoy. Ni que decir tiene que todo lo que hemos contado en la práctica se hace recurriendo a programas informáticos que nos calculan estos parámetros de manera sencilla.

Hemos visto aquí algunos de los aspectos de la regresión lineal múltiple, quizás el más utilizado de los modelos multivariables. Pero hay otros, como el análisis multivariante de la varianza (MANOVA), el análisis factorial o el análisis por conglomerados o clústeres. Pero esa es otra historia…

En busca de la causalidad

Publicado el 7 febrero, 2017 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Regresión discontinua

En Medicina es frecuente que tratemos de buscar relaciones de causa efecto. Si queremos demostrar que el fármaco X produce un efecto, no tenemos más que tomar dos grupos de personas, a un grupo le damos el fármaco, al otro grupo no se lo damos y vemos si hay diferencias.

Pero la cosa no es tan sencilla, porque nunca podemos estar seguros de que las diferencias en efecto entre los dos grupos se deban en realidad a otros factores distintos al tratamiento que hemos empleado. Estos factores son los llamados factores de confusión, que pueden ser conocidos o desconocidos y que nos pueden sesgar los resultados de la comparación.

El problema de la ausencia de aleatorización

Para resolver este problema se inventó el elemento clave de un ensayo clínico, la aleatorización. Si repartimos los participantes en el ensayo entre las dos ramas de forma aleatoria conseguiremos que estas variables de confusión se repartan de forma homogénea entre las dos ramas del ensayo, con lo que cualquier diferencia entre las dos tendrá que ser debida a la intervención. Solo así podremos establecer relaciones de causa-efecto entre nuestra exposición o tratamiento y la variable de resultado que midamos.

El problema de los estudios cuasi-experimentales y de los observacionales es que carecen de aleatorización. Por este motivo, nunca podremos estar seguros de que las diferencias se deban a la exposición y no a cualquier variable confusora, por lo que no podemos establecer con seguridad relaciones causales.

Este es un inconveniente molesto, ya que muchas veces será imposible realizar ensayos aleatorizados ya sea por motivos éticos, económicos, de la naturaleza de la intervención o de lo que sea. Por eso se han inventado algunas argucias para poder establecer relaciones causales en ausencia de aleatorización. Una de estas técnicas es la de los propensity score que vimos en una entrada anterior. Otra es la que vamos a desarrollar hoy, que tiene el bonito nombre de regresión discontinua.

Regresión discontinua

La regresión discontinua es un diseño cuasi-experimental que permite realizar inferencia causal en ausencia de aleatorización. Se puede aplicar cuando la exposición de interés se asigna, al menos parcialmente, según el valor de una variable aleatoria continua si esta variable cae por encima o por debajo de un determinado valor umbral. regresion-discontinua_umbral Pensemos, por ejemplo, en un fármaco hipocolesterolemiante que pautaremos cuando el colesterol LDL aumente por encima de un valor determinado, o de una terapia antirretroviral en un enfermo de sida que indicaremos cuando su contaje de CD4 disminuya por debajo de determinado valor. Existe una discontinuidad en el valor umbral de la variable que produce un cambio brusco en la probabilidad de asignación al grupo de intervención, tal como os muestro en la figura adjunta.

En estos casos en los que la asignación del tratamiento depende, al menos en parte, del valor de una variable continua, la asignación en las proximidades del umbral es casi como si fuese aleatoria. ¿Por qué? Porque las determinaciones están sujetas a una variabilidad aleatoria por error de muestreo (además de la propia variabilidad de las variables biológicas), lo que hace que los individuos que están muy cerca del umbral, por encima o por debajo, sean muy similares en cuanto a las variables que puedan actuar como confusoras (el estar por encima o por debajo del umbral puede depender de la variabilidad aleatoria del resultado de la medición de la variable), de manera similar a como ocurre en un ensayo clínico. A fin de cuentas, podemos pensar que un ensayo clínico no es más que un diseño de discontinuidad en el que el umbral es un número aleatorio.

La matemática de la regresión discontinua es solo para iniciados y no es mi intención explicarla aquí (primero tendría que entenderla yo), así que nos vamos a conformar con conocer algunos términos que nos servirán para entender los trabajos que empleen esta metodología.

Tipos de regresión discontinua

La regresión discontinua puede ser nítida o difusa. En la nítida, la probabilidad de asignación cambia de cero a uno en el umbral (la asignación del tratamiento sigue una regla determinista). Por ejemplo, se inicia el tratamiento cuando se cruza el umbral, con independencia de otros factores. Por otra parte, en la difusa hay otros factores en juego que hacen que en el umbral la probabilidad de asignación cambie, pero no de cero a uno, sino que puede depender de esos otros factores añadidos.

Así, el resultado del modelo de regresión varía un poco según se trate de una regresión discontinua nítida o difusa. En el caso de la regresión nítida se calcula el llamado efecto causal medio, según el cual los participantes son asignados a la intervención con seguridad si traspasan el umbral. En el caso de la regresión difusa, la asignación ya no se realiza según un modelo determinista, sino según uno probabilístico (según el valor respecto al umbral y el de otros factores que el investigador puede considerar importantes). En estos casos hay que hacer un análisis por intención de tratamiento según la diferencia de la probabilidad de asignación cerca del punto de corte (algunos pueden no traspasar el umbral pero ser asignados a la intervención porque así lo considere el investigador según los otros factores).

Así, en el modelo probabilístico habrá que medir el efecto en los cumplidores (los asignados a la intervención), por lo que el modelo de regresión nos dará el efecto causal medio de los cumplidores, que es la medida típica de la regresión discontinua difusa.

Nos vamos…

Y creo que aquí lo vamos a dejar por hoy. No hemos hablado nada sobre la ecuación de regresión, pero baste decir que tiene en cuenta las pendientes de la función de probabilidad de asignación antes y después del umbral y una variable de interacción para la posibilidad de que los efectos del tratamiento sean heterogéneos a ambos lados del umbral. Como veis, todo bastante complicado, pero para eso están los paquetes estadísticos como R o Stata que implementan estos modelos sin apenas esfuerzo.

Para terminar, decir solo que lo habitual es ver modelos que utilizan regresión lineal para variables de resultado cuantitativas, pero existen extensiones del modelo que utilizan variables dicotómicas y técnicas de regresión logística, e incluso modelos con estudios de supervivencia y variables de tiempo a suceso. Pero esa es otra historia…

Censura

Publicado el 17 enero, 2017 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Tablas de supervivencia y datos censurados

En el sentido más conocido de la palabra, censura es la acción de examinar una obra destinada al público, suprimiendo o modificando la parte que no se ajusta a determinados planteamientos políticos, morales o religiosos, para determinar si se puede o no publicar o exhibir. Entonces, ¿qué queremos decir en estadística cuando hablamos de datos censurados?. Nada que ver con la política, moral ni la religión. Para explicar lo que es un dato censurado tendremos que hablar primero de las variables de tiempo a suceso y de los análisis de supervivencia.

De manera general, podemos decir que hay tres tipos de variables: cuantitativas, cualitativas y de tiempo a suceso. Las dos primeras se entienden bastante bien en general, pero las de tiempo a suceso son un poco más complicadas de entender.

Variables de tiempo a suceso

Imaginemos que queremos estudiar la mortalidad de esa terrible enfermedad que es la fildulastrosis. Podríamos contar el número de fallecidos al final del periodo del estudio y dividirlos por la población total al inicio. Por ejemplo, si al inicio hay 50 enfermos y se nos mueren cuatro durante el seguimiento, podríamos calcular la mortalidad como 4/50 = 0,08, o sea del 8%. Así, si hemos seguido a la población durante cinco años, podremos decir que la supervivencia de la enfermedad a los cinco años es del 92% (100-8 = 92).

Sencillo, ¿verdad? El problema es que esto solo es válido cuando todos los sujetos tienen el mismo periodo de seguimiento y no se producen pérdidas o abandonos a lo largo del estudio, situación que suele estar lejos de la realidad en la mayor parte de los casos.

En estos casos, lo correcto es medir no solo si se produce el fallecimiento (que sería una variable dicotómica), sino también cuándo se produce, teniendo en cuenta además el diferente periodo de seguimiento y las pérdidas. Así, utilizaríamos una variable de tiempo a suceso, que está compuesta por una variable dicotómica (el suceso que se mide) y una continua (el tiempo de seguimiento cuando se produce).

Siguiendo el ejemplo anterior, los participantes en el estudio podrían clasificarse en tres tipos: aquéllos que fallecen durante el seguimiento, los que permaneces vivos al final del estudio y los que se pierden durante el seguimiento.

De los que se mueren podemos calcular su supervivencia pero, ¿cuál es la supervivencia de los que están vivos al final del estudio? ¿Y cuál es la supervivencia de los que se pierden durante el seguimiento? Está claro que algunos de los perdidos pueden haber fallecido al final del estudio sin que nosotros lo detectemos, por lo que nuestra medida de la mortalidad no será exacta.

Tablas de supervivencia y datos censurados

Y aquí es donde nos encontramos con los datos censurados. Todos aquellos que no presentan el evento durante un estudio de supervivencia se denominan censurados (las pérdidas y los que acaban el estudio sin presentar el evento). La importancia de estos datos censurados es que hay que tenerlos en cuenta al hacer el estudio de supervivencia, tal como veremos a continuación.

La metodología a seguir es confeccionar una tabla de supervivencia que tenga en cuenta los sucesos (en este caso las muertes) y los datos censurados, tal como vemos en la tabla adjunta.

Las columnas de la tabla representan lo siguiente: x, el número de año del seguimiento; Nx, el número de participantes vivos al inicio de ese año; Cx, el número de pérdidas de ese año (censurados); Mx, el número de fallecidos durante ese periodo; PM, probabilidad de morir en ese periodo; PSP, la probabilidad de sobrevivir en ese periodo (la probabilidad de no presentar el evento); y PSG, la probabilidad de supervivencia hasta ese momento. censura Como vemos, el primer año partimos de 50 participantes, de los cuales uno fallece. La probabilidad de fallecer en ese periodo es de 1/50 = 0,02, con lo que la probabilidad de supervivencia en el periodo (que es igual a la global por ser el primer periodo) es de 1-0,02 = 0,98.

En el segundo periodo partimos de 49 y no fallece ni se pierde nadie. La PM en el periodo es cero y la de supervivencia uno. Así, la probabilidad global será de 1×0,98 = 0,98.

En el tercer periodo seguimos con 49. Se pierden dos y fallece uno. La PM es de 1/49 = 0,0204 y la PSP de 1-0,0204 = 0,9796. Si multiplicamos la PSP por la global del periodo anterior, obtenemos la supervivencia global de este periodo: 0,9796×0,98 = 0,96.

En el cuarto periodo partimos de 46 participantes, produciéndose cinco pérdidas y dos fallecimientos. La PM será de 2/46 = 0,0434, la PSP de 1-0,0434 = 0,9566 y la PSG de 0,9566×0,96 = 0,9183.

Por último, en el quinto periodo partimos de 39 participantes. Tenemos dos censurados y ningún evento (fallecimiento). PM es cero, PSP es igual a uno (no se muere nadie en este periodo) y PSG 1×0,9183 = 0,9183.

Finalmente, teniendo en cuenta los datos censurados, podemos decir que la supervivencia global de la fildulastrosis es del 91,83% a los cinco años.

Nos vamos…

Y con esto vamos a dejarlo por hoy. Hemos visto cómo se construye una tabla de supervivencia con datos censurados para tener en cuenta el seguimiento desigual de los participantes y las pérdidas durante el seguimiento.

Solo dos reflexiones antes de terminar. En primer lugar, aunque se hable de análisis de supervivencia, el evento no tiene porqué ser el fallecimiento de los participantes. Puede ser cualquier evento que se produzca a lo largo del seguimiento del estudio.

En segundo lugar, las variables de tiempo a suceso y los datos censurados son la base para realizar otras técnicas estadísticas que estiman la probabilidad de producirse el evento en estudio en un momento determinado, como los modelos de regresión de Cox. Pero esa es otra historia…

Un caso de probabilidad engañosa

Publicado el 15 noviembre, 2016 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Teorema de Bayes

Hoy vamos a ver otro de esos ejemplos en los que la intuición sobre el valor de determinadas probabilidades nos juega malas pasadas. Y, para ello, vamos a utilizar nada menos que el teorema de Bayes, jugando un poco con las probabilidades condicionadas. Vamos a ver paso a paso cómo funciona.

¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan dos sucesos? La probabilidad de que ocurra un suceso A es P(A) y la de que ocurra B, P(B). Pues bien, la probabilidad de que ocurran los dos es P(A∩B) que, si los dos sucesos son independientes, es igual a P(A) x P(B).

Imaginemos que tenemos un dado con seis caras. Si lo lanzamos una vez, la probabilidad de sacar, por ejemplo, un cinco es de 1/6 (un resultado entre los seis posibles). La de sacar un cuatro es, igualmente, 1/6. ¿Cuál será la probabilidad de sacar un cuatro, una vez que en la primera tirada sacamos un cinco?. Como las dos tiradas son independientes, la probabilidad de la combinación cinco seguida de cuatro será de 1/6 x 1/6 = 1/36.

Probabilidad condicionada

Ahora pensemos otro ejemplo. Supongamos que en un grupo de 10 personas hay cuatro médicos, dos de los cuáles son cirujanos. Si tomamos uno al azar, la probabilidad de que sea médico es de 4/10 = 0,4 y la de que sea cirujano es de 2/10 = 0,2. Pero, si sacamos a uno y sabemos que es médico, la probabilidad de que sea cirujano ya no será de 0,2, porque los dos sucesos, ser médico y cirujano, no son independientes. Si es médico, la probabilidad de que sea cirujano será de 0,5 (la mitad de los médicos de nuestro grupo son cirujanos).

Cuando dos sucesos son dependientes, la probabilidad de que ocurran los dos será la probabilidad de ocurrir el primero, una vez que ocurre el segundo, por la probabilidad de ocurrir el segundo. Así que la P(médico∩cirujano) = P(cirujano|médico) x P(médico). Podemos generalizar la expresión de la siguiente manera:

P(A∩B) = P(A|B) x P(B), y cambiando de orden los componentes de la expresión, obtenemos la llamada regla de Bayes, de la siguiente forma:

P(A|B) = P(A∩B) / P(B).

La P(A∩B) será la probabilidad de B, una vez que se produce A, por la probabilidad de A = P(B|A) x P(A). Por otra parte, la probabilidad de B será igual a la suma de la probabilidad de producirse B una vez que se produzca A más la probabilidad de producirse B sin que ocurra A, lo que puesto de forma matemática queda de la siguiente forma:

P(B|A) x P(A) + P(B|A^c) x P(A^c), siendo P(A^c) la probabilidad de que no ocurra A.

Si sustituimos la regla inicial por sus valores desarrollados, obtendremos la expresión más conocida del teorema de Bayes:

$P(A|B)=\frac{P(B|A) \times P(A)}{P(B|A) \times P(A)+P(B|A^{{c}}) \times P(A^{{c}})}$ Vamos a ver cómo se aplica el teorema de Bayes con un ejemplo práctico. Pensemos en el caso de la fildulastrosis aguda, una grave enfermedad cuya prevalencia en la población es, afortunadamente, bastante baja, de uno por cada 1000 habitantes. Luego, la P(F) = 0,001.

Veamos un ejemplo

Por suerte tenemos una buena prueba diagnóstica, con una sensibilidad del 98% y una especificidad del 95%. Supongamos ahora que yo me hago la prueba y me da un resultado positivo. ¿Tengo que asustarme mucho? ¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga la enfermedad? ¿Os parece que será alta o baja? Veámoslo.

Una sensibilidad del 98% quiere decir que la probabilidad de dar positivo cuando se tiene la enfermedad es de 0,98. Matemáticamente, P(POS|F) = 0,98. Por otra parte, una especificidad del 95% quiere decir que la probabilidad de que dé un resultado negativo estando sano es de 0,95. O sea, P(NEG|F^c) = 0,95. Pero nosotros lo que queremos saber no es ninguna de estas dos cosas, sino que realmente buscamos cuál es la probabilidad de estar enfermo una vez que damos positivo en la prueba, o sea, la P(F|POS).

Para calcularla, no tenemos más que aplicar el teorema de Bayes:

$P(F|POS)=\frac{P(POS|F) \times P(F)}{P(POS|F) \times P(F)+P(POS|F^{{c}}) \times P(F^{{c}})}$ A continuación, sustituimos los símbolos con sus valores y resolvemos la ecuación:

$P(F|POS)=\frac{0,98 \times 0,001}{0,98 \times 0,001+[(1-0,95) \times (1-0,001)]}=0,02$ Así que vemos que, en principio, no tengo que asustarme mucho cuando la prueba me da un resultado positivo, ya que la probabilidad de estar enfermo es solo de un 2%. Como veis, mucho más baja de lo que la intuición nos diría con una sensibilidad y una especificidad tan altas. ¿Por qué ocurre esto? Muy sencillo, porque la prevalencia de la enfermedad es muy baja. Vamos a repetir el experimento suponiendo ahora que la prevalencia es del 10% (0,1):

$P(F|POS)=\frac{0,98 \times 0,1}{0,98 \times 0,1+[(1-0,95) \times (1-0,1)]}=0,68$ Como veis, en este caso la probabilidad de estar enfermo si doy positivo sube hasta el 68%. Esta probabilidad es el conocido valor predictivo positivo que, como podemos comprobar, puede variar enormemente según la frecuencia del efecto que estemos estudiando.

Nos vamos…

Y aquí lo dejamos por hoy. Antes de terminar, dejadme advertiros que no busquéis qué es la fildulastrosis. Me sorprendería mucho que alguien la encontrase en algún libro de medicina. Además, tened cuidado de no confundir P(POS|F) con P(F|POS), ya que incurriríais en un pecado llamado falacia inversa o falacia de la transposición de los condicionales, que es un error grave.

Hemos visto como el cálculo de probabilidades se complica un poco cuando los sucesos no son independientes. También hemos aprendido lo poco de fiar que son los valores predictivos cuando cambia la prevalencia de la enfermedad. Por eso se inventaron los cocientes de probabilidades, que no dependen tanto de la prevalencia de la enfermedad que se diagnostica y permiten valorar mejor de forma global la potencia de la prueba diagnóstica. Pero esa es otra historia…

No te dejes llevar por los extremos

Publicado el 28 junio, 2016 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Medidas de escala robustas

Ya vimos en una entrada anterior que los valores extremos de una distribución, los llamados outliers, pueden sesgar las estimaciones de los estadísticos que calculamos en nuestra muestra.

Un ejemplo típico es el de la media aritmética, que se desplaza en la dirección de los valores extremos, si los hay, tanto más cuanto más extremos sean los valores. Vimos que, para evitar este inconveniente, existían una serie de familiares de la media aritmética que se consideraban robustos o, lo que es lo mismo, que eran menos sensibles a la presencia de outliers. De todos estos, el más conocido es la mediana, aunque existen algunos más, como la media recortada, la winsorizada, la ponderada, la geométrica, etc.

El problema de los valores extremos

Pues bien, algo parecido a lo que le pasa a la media ocurre también con la desviación típica, el estadístico de escala o dispersión utilizado con más frecuencia. La desviación típica o estándar también se ve sesgada por la presencia de valores extremos, obteniendo valores que son poco representativos de la dispersión real de la distribución.

Veamos el ejemplo que utilizábamos al hablar de los estimadores robustos de la media. Supongamos que medimos los valores de colesterol sérico en un grupo de personas y nos encontramos los siguientes valores (en mg/dl): 166, 143, 154, 168, 435, 159, 185, 155, 167, 152, 152, 168, 177, 171, 183, 426, 163, 170, 152 y 155. Como vemos, existen dos valores extremos (426 y 435 mg/dl) que nos sesgarán los estadísticos habituales que son la media y la desviación típica. En nuestro caso, podemos calcular la desviación típica y ver que su valor es de 83 mg/dl, claramente poco ajustado a la desviación de la mayoría de los valores respecto a cualquiera de las medidas de centralización robustas que podamos elegir.

¿Qué hacemos en este caso? Pues utilizar cualquiera de los estimadores robustos de la desviación, que hay varios. Algunos de ellos surgen a partir de los estimadores robustos de la media. Veamos algunos.

Medidas de escala robustas

El primero, que surge a partir de la mediana, es la desviación absoluta mediana (DAM). Si recordáis, la desviación típica es la suma de las diferencias de cada valor con la media, elevadas al cuadrado, y dividida por el número de elementos, n (o por n-1 si lo que queremos es obtener un estimador no sesgado de la desviación típica poblacional). Pues bien, de modo similar, podemos calcular la mediana de las desviaciones absolutas de cada valor con la mediana de la muestra, según la siguiente fórmula

DAM = Mediana {|Xi – Me|}, para i=1 hasta n.

Podemos calcularla en nuestro ejemplo y vemos que vale 17,05 mg/dl, bastante más ajustado que la desviación típica clásica.

El segundo se calcula a partir de la media recortada. Esta, como su nombre indica, se calcula recortando un determinado porcentaje de la distribución, por sus extremos (la distribución tiene que estar ordenada de menor a mayor). Por ejemplo para calcular la media recortada al 20% de nuestro ejemplo quitaríamos un 10% por cada lado (dos elementos por cada lado: 143, 152, 426 y 435) y calcularíamos la media aritmética con los restantes. Pues bien, podemos calcular la desviación de la forma clásica con los elementos recortados, obteniendo el valor de 10,5 mg/dl.

Por último, en tercer lugar podríamos hacerlo siguiendo el razonamiento que se utiliza para calcular la media winsorizada. En este caso, en vez de eliminar los valores, los sustituiríamos por los valores más próximos sin eliminar. Una vez winsorizada la distribución, calculamos la desviación típica con los nuevos valores de la forma habitual. Su valor es de 9,3 mg/dl, similar a la anterior.

¿Cuál utilizamos de las tres?. Pues nos interesa utilizar una que se comporte de forma eficiente cuando la distribución sea normal (en estos casos la mejor es la desviación típica clásica) pero que no sea muy sensible cuando la distribución se aparte de la normal. En este sentido, la mejor es la desviación absoluta mediana, seguida de la desviación típica winsorizada muestral.

Nos vamos…

Un último consejo antes de finalizar. No os pongáis a calcular estas medidas a mano, ya que puede resultar muy laborioso, Los programas de estadística hacen los cálculos por nosotros sin el menor esfuerzo.

Y aquí terminamos. No hemos hablado nada de otros estimadores de la familia de los M-estimadores, como la varianza media biponderada o la varianza media de porcentaje ajustado. Estas medias son mucho más difíciles de comprender desde el punto de vista matemático, aunque son muy fáciles de calcular con el paquete informático adecuado. Pero esa es otra historia…

Una relación simple

Publicado el 31 mayo, 2016 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Regresión simple

Hoy vamos a volver a hablar de la relación que puede existir entre dos variables. Vimos en una entrada anterior como podíamos medir la relación entre dos variables mediante el procedimiento de correlación, que nos medía la fuerza de relación entre dos variables cuando ninguna de las dos puede considerarse predictora de la otra. Esto es, cuando los valores de una no nos sirven para calcular los valores de la otra, aunque las dos varíen de una forma predecible.

Regresión simple

Una cosa parecida, de la que vamos a hablar en esta entrada, es la regresión. Esta no solo explica la relación que hay entre dos variables, sino que podemos cuantificar cómo varía una de las variables, que llamaremos dependiente, con las variaciones de la otra variables, que será la independiente.

Pero todavía podemos llegar un paso más allá: los valores de la variable independiente nos pueden servir para predecir el correspondiente valor de la variable dependiente. Supongamos que medimos peso y talla y calculamos el modelo de regresión entre el peso y la talla. Si sabemos la talla de un individuo podemos utilizar la ecuación de regresión para estimar cuál será su peso (en este caso la talla es la variable independiente y el peso la dependiente).

El modelo

Si llamamos x a la variable independiente e y a la variable dependiente, los modelos de regresión simple pueden representarse mediante la siguiente ecuación:

Función(y) = a + bx

En esta ecuación, a representa el valor de la función de y cuando x vale cero. Se suele llamar interceptor porque es el punto donde la representación gráfica de la recta de regresión cruza el eje de las y. Por su parte, b representa la llamada pendiente, que es la cantidad que varía y con las variaciones de x (si x aumenta en b unidades, y aumenta en b unidades).

¿Y qué significa función(y)?. Pues depende del tipo de variable que sea la variable dependiente. Sabemos que las variables se clasifican en cuantitativas (o continuas), cualitativas (nominales u ordinales) y de tiempo a suceso (también llamadas de supervivencia). Pues bien, según el tipo de la variable dependiente la función(y) será diferente porque aplicaremos un modelos de regresión simple diferente.

Tipos de regresión simple

En el caso de variables continuas, el modelo de regresión que aplicamos es el de regresión lineal simple y la función de y será su media aritmética. La ecuación será la siguiente:

y = a + bx

Volviendo al ejemplo del peso y la talla, si sustituimos x por el valor de talla deseado y resolvemos la ecuación obtendremos el peso medio de los individuos de esa talla.

En el caso de que la variable dependiente sea cualitativa binaria utilizaremos un modelo de regresión logística. En este caso codificaremos la variable dependiente como cero y uno y la función de y ya no será la media, sino el logaritmo neperiano de la odds ratio del valor uno de la variable. Imaginemos que calculamos la relación entre peso (variable independiente) y sexo (variable dependiente). En este caso podríamos codificar como uno si es mujer y cero si es hombre, representando la recta de regresión de la siguiente forma:

Ln(OR) = a + bx

Si sustituimos x por el peso en cuestión y resolvemos la ecuación, obtendremos el logaritmo de la OR de ser mujer (el valor 1). Para obtener la OR debemos elevar el número e al resultado de la ecuación (hacer el antilogaritmo), obteniendo así la OR de que sea mujer. A partir de aquí es sencillo calcular el valor de la probabilidad de que sea mujer (p = OR/1+OR) u hombre (uno menos el valor de la probabilidad de que sea mujer).

Esta función del ln(OR) se expresa en muchas ocasiones como ln(p/1-p), ya que la odds ratio es la probabilidad de que un suceso ocurra (p) dividida de la probabilidad de que no ocurra (1-p). A esta función se la denomina logit, por lo que podemos ver también representada la regresión logística de la siguiente forma:

Logit(y) = a + bx

Por último, podemos encontrarnos el caso de que la variable dependiente sea una variable de tiempo a suceso. En este caso hay que utilizar un modelo de regresión de riesgos proporcionales de Cox. La estructura es muy similar a la de la regresión logística, solo que la función de y es el logaritmo de la hazard ratio en lugar del de la odds ratio:

Ln(HR) = a + bx

Igual que hacíamos con la regresión logística, para calcular el valor de la hazard ratio hay que hacer el antilogaritmo natural del producto de la ecuación de regresión (e elevado al resultado de la ecuación).

Y, aunque hay muchos más, estos son los tres modelos de regresión más utilizados. En todos estos casos hemos hablado de ecuaciones con una variable independiente, por lo que decimos que hablamos de regresión simple. Pero podemos meter todas las variables independientes que queramos, según la siguiente fórmula:

Función(y) = a + bx₁ + cx₂ + … + nx_n

Claro que ya no hablaríamos de regresión simple, sino de regresión múltiple, pero todo lo que hemos descrito sería igual de aplicable.

Nos vamos…

Y aquí lo vamos a dejar. Podríamos hablar del valor del interceptor y de la pendiente según la variable independiente sea continua o cualitativa, ya que se leen de forma un poco diferente. Pero esa es otra historia…

Ovejas negras

Publicado el 3 mayo, 2016 | por Manuel Molina | Deja un Comentario

Valores extremos

Se dice que es una oveja negra aquél elemento de un grupo que va en dirección distinta o contraria a la del resto del grupo. Por ejemplo, en una familia de adictos a la telebasura, la oveja negra sería un miembro de esa familia que se desviviese por ver los documentales de la segunda cadena. Claro que si la familia es adicta a los documentales, la oveja negra se morirá por ver la telebasura. Siempre al revés.

En estadística hay algo parecido a las ovejas negras. Son los datos anómalos, también llamados datos extremos, pero más conocidos por su nombre en inglés: outliers.

Valores extremos

Un outlier es una observación que parece inconsistente con el resto de los valores de la muestra, siempre teniendo en cuenta el modelo probabilístico supuesto que debe seguir la muestra. Como veis, es un dato que lleva la contraria a los demás, como una oveja negra.

El problema del outlier es que puede hacer mucho daño al estimar parámetros poblacionales a partir de una muestra. Vamos a recordar un ejemplo que vimos en otra entrada sobre el cálculo de medidas de centralidad robustas. Se trataba de un colegio con cinco maestros y un director fanático del futbol. Al hacer los contratos establece los siguientes sueldos: 1200 euros al mes para el profesor de ciencias, 1500 para el de mates, 800 para el de literatura y 1100 para el de historia. Pero resulta que se le antoja contratar a Zinedine Zidane como profesor de gimnasia, así que tiene que pagarle nada menos que 20000 euros mensuales.

¿Veis por dónde la va la cosa? Efectivamente, Zuzu es la oveja negra, el valor anómalo. Fijaos qué pasa si calculamos la media: 4920 euros al mes es el sueldo medio de los profesores de este centro. ¿Os parece una estimación real? Claramente no, el valor de la media está desplazada en la dirección del outlier, y se desplazaría más cuánto más extremo sea el valor anómalo. Si a Zuzu le pagasen 100000 euros, el sueldo medio ascendería a 20920 euros. Una locura.

Si un valor anómalo puede hacerle tanto daño a un estimador, imaginad lo que puede hacer con un contraste de hipótesis, en el que la respuesta es un aceptar o rechazar la hipótesis nula. Así que nos planteamos, ¿qué podemos hacer cuando descubrimos que entre nuestros datos hay una (o varias) ovejas negras? Pues podemos hacer varias cosas.

¿Qué podemos hacer con los valores extremos?

La primera que se nos pasa por la cabeza es tirar el outlier a la basura. Prescindir de él a la hora de analizar los datos. Esto estaría bien si el valor extremo es producto de un error en la recogida de los datos pero, claro, podemos prescindir de datos que dan información adicional. En nuestro ejemplo, el outlier no es ningún error, sino que es producto del historial deportivo del profesor en cuestión. Necesitaríamos algún método más objetivo para poder decidir suprimir el outlier, y aunque existen unas pruebas llamadas de discordancia, tienen sus problemas.

La segunda cosa que podemos hacer es identificarlo. Esto significa que tenemos que averiguar si el valor es tan extremo por alguna razón concreta, como pasa en nuestro ejemplo. Un valor extremo puede estar señalando algún hallazgo importante y no tenemos porqué desdeñarlo con rapidez, sino tratar de interpretar su significado.

En tercer lugar, podemos incorporarlos. Como hemos dicho al definirlos, el outlier lleva la contraria a los demás datos de la muestra según el modelo de probabilidad que suponemos que sigue la muestra. A veces, un dato extremo deja de serlo si asumimos que los datos siguen otro modelo. Por ejemplo, un outlier puede serlo si consideramos que los datos siguen una distribución normal pero no si consideramos que siguen una logarítmica.

Y, en cuarto lugar, la opción más correcta de todas: utilizar técnicas robustas para hacer nuestras estimaciones y nuestros contrastes de hipótesis. Se llaman técnicas robustas porque se afectan menos por la presencia de valores extremos. En nuestro ejemplo con los profesores utilizaríamos una medida de centralidad robusta como es la mediana. En nuestro caso es de 1200 euros, bastante más ajustada a la realidad que la media. Además, aunque le paguen a Zuzu 100000 euros al mes, la mediana seguirá siendo de 1200 euros mensuales.

Nos vamos…

Y con esto terminamos con los valores anómalos, esas ovejas negras que se mezclan con nuestros datos. No hemos comentado nada por simplificar, pero también podríamos tratar de averiguar cómo afecta el outlier a la estimación del parámetro, para lo cual existe toda una serie de metodología estadística basada en la determinación de la llamada función de influencia. Pero esa es otra historia…